МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ Государственное БЮДЖЕТНОЕ
Образовательное учреждение
Высшего Профессионального образования
«Башкирский Государственный Университет»
«Математическая статистика»
Для студентов экономического факультета
Уфа-2013
Печатается по решению (протокол №? ? 2012 г.) кафедры математические методы
Составители: Давлетханова Н.Р., ассистент, Ямилова Л.С.,доцент, Каримов М.Г., доцент, Акбутина С.Б., магистр 1-го курса.
В методическом указании приведено описание основных разделов математической статистики, предусмотренных учебной программой дисциплины в соответствии с государственным образовательным стандартом по направлению «Бизнес информатика», «Экономика». Рассмотрены краткое и простое изложение теории сопровождается большим количеством задач экономического содержания с подробным решением, предлагается задачи для самостоятельного решения.
Для студентов, аспирантов и преподавателей вузов экономической направленности, а также для практических работников, менеджеров и экономистов.
Содержание
Раздел 1.
1.1. Первичная обработка данных
1.2. Эмпирическая функция распределения
1.3. Полигон и гистограмма
Раздел 2.
2.1. Оценки параметров распределений.
2.2. Метод моментов
2.3. Метод наибольшего правдоподобия
2.4. Интервальные оценки
Раздел 3. Введение
Курс математической статистики является фундаментальным математическим курсом подготовки современного специалиста в области бизнес - информатики и экономики. В курсе с единой точки зрения рассматриваются теоретические основы математической статистики и практические навыки обработки статистического материала. Практические задания выполняются на компьютере с использованием современных программных средств статистической обработки. ( 2 методичка ???) Используются пакеты прикладных программ (STATISTICA,Maple и др.) для выполнения лабораторных работ. Учебная задача дисциплины являются:
первоначальное знакомство с основными понятиями математической статистики
овладение современными методами статистического анализа результатов наблюдений
применение полученных знаний к решению практических задач.
Тема 1.1. Первичная обработка данных.
Основные задачи статистики. Генеральная совокупность и выборка. Выборочные характеристики: выборочные моменты и выборочная функция распределения. Вероятностные распределения выборочных характеристик. Сходимость выборочных характеристик. Проблема репрезентативной выборки. Случайные числа. Генераторы случайных чисел.
Совокупность
всех возможных объектов данного вида,
над которыми проводится наблюдения,
или совокупность всех возможных
наблюдению, проводимых в одинаковых
условиях над некоторой случайной
величиной, называется генеральной
совокупностью.
Генеральная совокупность может содержать
конечное или бесконечное число элементов.
Отобранные из генеральной совокупности
объекты (результаты наблюдений над
конечным числом объектов из генеральной
совокупности) называются выборочной
совокупностью или выборкой. Число
N
элементов генеральной совокупности и
число n
элементов выборочной совокупности
будем называть объемами генеральной
выборочной совокупности соответственно
(N≫
n).
Расположение
выборочных наблюденных значений
случайной величины в порядке неубывания
называется ранжированием.
Значение случайной величины, соответствующее
отдельной группе сгруппированного ряда
наблюдаемых данных, называется вариантой,
а
изменение этого значения
- варьированием.
Численность
отдельной группы сгруппированного ряда
наблюдаемых данных называется частотой
или весом
варианты. Если і
– индекс варианты, то
- число измеренных значений і
–й
варианты. Отношение
к общей сумме частот всех вариант
=
n
относительной
частотой
варианты и обозначается
.
Дискретным
вариационным рядом
распределения (распределением частот)
называется ранжированная совокупность
вариант xi
с соответствующими им частотами или
относительными частотами. Наименьшее
и наибольшее значение обозначают
и
,
их называют крайними
членами вариационного ряда.
Интервальным
вариационным рядом
(интервальным распределением частот)
называется упорядоченная последовательность
интервалов варьирования случайной
величины с соответствующими частотами
или относительными частотами попаданий
в каждый из них значений случайной
величины.
Задача
1.
В супермаркете проводились наблюдения
над числом
покупателей,
обратившихся в кассу за один час.
Наблюдения в течение 30 часов (15 дней в
период с 9 до 10 и с 10 до 11 часов) дали
следующие результаты: 70, 75, 100, 120, 75, 60,
100, 120, 70, 60, 65, 100, 65, 100, 70, 75, 60, 100, 100, 120, 70,
75, 70, 120, 65, 70, 75, 70, 100, 100.
Число
X
является
дискретной случайной величиной, а
полученные данные представляют собой
выборку из
наблюдений. Требуется составить ряд
распределения частота (вариационный
ряд).
Решение. Вначале составим ранжированный ряд:
60, 60, 60, 65, 65, 65, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120, 120, 120.
Получено шесть групп, т.е. шесть различных значений случайной величины (шесть вариант). Для каждой группы подсчитаем частоту значений варианты и соответствующую относительную частоту. Все результаты укажем в табл..1, которая и будет представлять вариационный ряд.
Таблица 1.
Номер группы |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Число обращений покупателей в кассу |
|
60 |
65 |
70 |
75 |
100 |
120 |
Частота |
|
3 |
3 |
7 |
5 |
8 |
4 |
Относительная частота |
|
3/30 |
3/30 |
7/30 |
5/30 |
8/30 |
4/30 |
Задача 2. В табл. 2. приведена выборка результатов измерения роста 105 студентов (юношей). Измерения проводились с точностью до 1 см.
Таблица 2.
155 |
170 |
185 |
180 |
188 |
152 |
173 |
178 |
178 |
168 |
185 |
173 |
170 |
183 |
175 |
173 |
170 |
183 |
175 |
180 |
175 |
193 |
178 |
183 |
180 |
197 |
178 |
181 |
187 |
168 |
174 |
179 |
184 |
183 |
178 |
180 |
178 |
163 |
166 |
178 |
175 |
182 |
190 |
167 |
170 |
178 |
183 |
170 |
178 |
181 |
173 |
168 |
185 |
175 |
170 |
155 |
169 |
186 |
179 |
189 |
155 |
174 |
179 |
179 |
169 |
186 |
174 |
171 |
184 |
175 |
193 |
178 |
184 |
180 |
196 |
175 |
181 |
188 |
168 |
179 |
178 |
183 |
184 |
178 |
181 |
177 |
163 |
166 |
178 |
175 |
183 |
190 |
167 |
170 |
178 |
183 |
170 |
178 |
182 |
173 |
168 |
186 |
176 |
171 |
188 |
|
|
|
|
|
Требуется составить интервальный вариационный ряд.
Решение.
Очевидно, что рост юношей есть случайная
непрерывная величина. Найдем сначала
минимальное и максимальное значения
случайной величины:
тогда интервал варьирования
(«размах») будет равен
На практике обычно считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов, однако фактическое число частичных интервалов и, соответственно, размер интервала определяются условиями конкретной задачи.
В нашем случае удобно выбрать длину частичного интервала равной 5 см, тогда число частичных интервалов, начиная со 150 см и кончая 200 см, будет равно 10. Соответствующий интервальный вариационный ряд приведен в табл.3.
Таблица 3
-
Индекс интервала
Рост студентов (интервалы)
Частота
Относительная частота
1
150 - 155
4
0,0381
2
155 - 160
-
-
3
160 - 165
2
0,0190
4
165 - 170
19
0,1810
5
170 - 175
19
0,1810
6
175 - 180
26
0,2476
7
180 - 185
21
0,2000
8
185 - 190
10
0,0953
9
190 - 195
2
0,0190
10
195 - 200
2
0,0190