Лекции по математической логике / Lec10 / Lec10

§10. Аксиомы арифметики.

Напомним, что сигнатура теории L₁ Ar включает в себя:

1. константу 0;

2. три функциональных символа h(x), f(x, y), g(x, y) для обозначения операций прибавления 1 (), сложения (+) и умножения ();

3. один предикатный символ p(x, y) для обозначения равенства (=).

Аксиомами этой теории, кроме общих аксиом исчисления предикатов (1a – 9) и аксиом равенства E1, E2, являются следующие собственные аксиомы.

Аксиомы арифметических действий

A1 (x = y)(x = y) A4 x + y = (x + y)

A2 (x = 0) A5 x  0 = 0

A3 x + 0 = x A6 x  y = (x  y) + x

Схема аксиом индукции

AInd (P(0)x(P(x)P(x)))P(x), где P – любая формула со свободной переменной x.

Стандартная интерпретация этой теории строится на множестве F целых неотрицательных чисел с операциями сложения и умножения. Наличие операции h(x) = x (переход к следующему числу) позволяет выстроить числа в последовательность: 0, 0, 0,…

Комментарии

Можно было бы не выделять в отдельную группу аксиомы равенства E1и E2, а добавить к системе A1 – A6 2 дополнительные аксиомы

A7 (x = y)(x = y) и A8 (x = y)((x = z)(y = z)).

Приблизительно в таком виде аксиомы арифметики были впервые сформулированы итальянским математиком Д. Пеано (G. Peano) в 1891 году. Аксиомы позволяют последовательно вывести все элементарные свойства натуральных чисел. Особое место занимает аксиома индукции. В классической математике “принцип математической индукции” позволяет получить доказательство произвольного “свойства” множества всех неотрицательных целых чисел. А именно, если (n) некоторое утверждение, зависящее от числа n, то, априори, оно является истинным для некоторого подмножества SF. Если удается доказать, что 0S и что из nS следует (n+1)S, то делается вывод, что S = F. Таким образом, объектом индукции в классической математике может быть произвольное подмножество счетного множества и множество всех таких объектов имеет мощность континуума. Объектами, к которым применима схема AInd, являются всевозможные формулы P сигнатуры L₁ Ar со свободной переменной x, множество которых, очевидно, счетно. Следовательно, схема аксиом индукции в формальной арифметике заведомо слабее принципа индукции в классической математике.

Простейшие формулы формальной арифметики.

В последующих формулах мы будем писать 0 вместо 0, xy вместо (x  y). Кроме того, введем сокращенные обозначения: 0 = 1, 0 = 2 и так далее. Формулу (x = y) будем записывать как x  y, а формулу z(x + z = y) как x  y. Формула (x  y)( x  y) будет сокращаться до x < y.

Можно доказать следующие свойства арифметических операций:

1. Свойства равенства. 1.1. ├ (x = y)(x + z = y + z) 1.2. ├ (x = y)(z + x = z + y) 1.3. ├ (x = y)(xz = yz) 1.4. ├ (x = y)(zx = zy)

2. Арифметические законы. 2.1. ├ (x + y) + z = x + (y + z) 2.2. ├ x + y = y + x 2.3. ├ (xy)z = x(yz) 2.4. ├ xy = yx 2.5. ├ x(y + z) = xy + xz

3. Дополнительные арифметические законы. 3.1. ├ x + 1 = x 3.2. ├ x1 = x 3.3. ├ (x + y = 0)(x = 0)(y = 0) 3.4. ├ (xy = 0)(x = 0)(y = 0) 3.5. ├ (x + y = 1)(x = 1)(y = 1) 3.6. ├ (xy = 1)(x = 1)(y = 1) 3.7. ├ (x + z = y + z)(x = y) 3.8. ├ (z  0)((xz = yz)(x = y))

Отметим, что перечислены далеко не все свойства, которые используются в классической арифметике. Читатель может сам добавить в этот перечень, например, свойства отношения порядка и согласованности этого отношения с арифметическими операциями. Мы отметим дополнительно только существование и единственность неполного частного и остатка:

├ (x  0)yz((t = xy + z)(z < x))

├ ((t = xy₁ + z₁)(z₁ < x)(t = xy₂ + z₂)(z₂ < x))(y₁ = y₂)(z₁ = z₂)

В дальнейшем вторую формулу, выражающую единственность объектов, мы, как правило, будем опускать, используя в первой формуле символ !y для выражения этого свойства.

Мы в этих заметках не можем приводить полные выводы всех этих и аналогичных формул. Поэтому ограничимся 2 примерами.

Свойства равенства 1.1 – 1.4 выводятся из аксиом равенства E1 и E2. Чтобы вывести 1.1, обозначим через P(x, x) формулу x + z = x + z. Запишем E2:

(x = y)((x + z = x + z)(x + z = y + z))

Применяя к E1 аксиому 8, получаем:

x(x = x)(x = x;x(x + z)). Таким образом ├ (x + z = x + z). Теперь 1.1 выводится стандартным путем с использованием аксиом 1a 1b и правила MP.

Для вывода 2.1 проведем индукцию по z. Обозначим это равенство через P(z). Сначала выведем P(0) – базу индукции. Рассмотрим формальный вывод:

1. (x + y) + 0 = x + y (A3)

2. ((x + y) +0 = x + y)(x + y = (x + y) + 0) (E3)

3. x + y = (x + y) + 0 (MP 1, 2)

4. y + 0 = y (A3)

5. (y + 0 = y)(x + (y + 0) = x + y) (свойство 1.2)

6. x + (y + 0) = x + y (MP 4, 5)

7. (x + (y + 0) = x + y)(x + y = x + (y + 0)) (E3)

8. x + y = x + (y + 0) (MP 6, 7)

9. (x + y = (x + y) + 0)((x + y = x + (y + 0))((x + y) + 0 = x + (y + 0))) (E2)

10. (x + y = x + (y + 0))((x + y) + 0 = x + (y + 0)) (MP 3, 9)

11. (x + y) + 0 = x + (y + 0) (MP 8, 10)

Последняя формула – это и есть P(0). Теперь выведем z (P(z)P(z))

Формула ((x + y) + z = x + (y + z))(((x + y) + z) = (x + (y + z))) - это A7, которая выводима из E1, E2. Формулы ((x + y) + z) = (x + y) + z, (x + (y + z)) = x + (y + z) представляют собой аксиому A4. Формула x + (y + z) = x + (y + z) –та же A4 вместе с 1.2. Используя несколько раз свойство транзитивности равенства и аксиомы 1a, 1b исчисления высказываний, выводим:

((x + y) + z = x + (y + z))((x + y) + z = x + (y + z)). Если теперь применить правило Gen, то получается нужная формула z (P(z)P(z)). Теперь используя аксиому A(BAB) и дважды MP, получаем формулу P(0)( z (P(z)P(z))). Запишем теперь AInd:

(P(0)( z (P(z)P(z))))P(z). Применяя еще раз MP, получаем P(z).

Дальнейшее изложение арифметики; делимость, простые числа.

Многие теоремы арифметики используют свойства делимости целых чисел. Сигнатура нашей теории не включает предикатных символов для записи свойства: “x делит y”. Введем запись x | y как сокращение для формулы: z(xz = y). Можно вывести свойства отношения делимости:

D1. ├ x | xy D4. ├ (x > 1)  ((x | y)(x | y))

D2. ├ x | x D5. ├ (y  0)((x | y)(0 < x  y))

D3. ├ (x | y)(y | z)(x | z)

Теперь можно определить понятие простого числа. А именно, введем сокращение Pr(x) ( x – простое) для формулы: (x > 1)y((1 < y < x)(y | x)).

Теорема Эвклида о существовании бесконечного множества простых чисел может быть выражена в нашей формальной системе формулой: y(Pr(y)(y > x)). Неформальное доказательство этой теоремы обычно проводится следующим образом. Каждое натуральное n  N делит N!. Поэтому ни одно из них, кроме 1, не делит N! + 1. Но, N! + 1 > 1, поэтому оно само или некоторый его множитель является простым. Таким образом, в промежутке между N + 1 и N! + 1 имеется простое число. Если попытаться перевести это рассуждение на язык L₁ Ar, то мы встретимся с затруднением, поскольку наш формальный язык не содержит терма для функции x!. В данном случае это затруднение можно обойти, если вывести формулу: ├ z((z > 0)y((0 < y  x)  (y | z))), которая выражает существование общего кратного для чисел 1, 2,…x. Переменная z, подчиненная этой формуле, и будет играть роль x! в формальном выводе теоремы Эвклида.

Обсуждение.

Мы видели, что многие теоремы неформальной теории чисел (арифметики) могут быть выражены в виде некоторых формул теории L₁ Ar, для которых существует формальный вывод. Остаются, однако, серьезные сомнения относительно того, любая ли теорема из теории чисел, может быть “транслирована” в нашу формальную теорию. На самом деле в теории чисел имеются такие теоремы, для доказательства которых приходится привлекать глубокие результаты из других разделов математики – теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и так далее. Разумеется, такие доказательства мы не можем изложить на языке формальной арифметики. Встает вопрос – означает ли это, что не все “арифметические истины” можно формально вывести в языке L₁ Ar, или мы просто не знаем в настоящее время “элементарных” доказательств этих утверждений?

В связи с этим вопросом можно дать такое определение. Формальная теория называется полной, если для всякой замкнутой формулы P этой теории либо ├ P, либо ├ P.

Является ли теория L₁ Ar полной?

Другой важный вопрос – является ли эта теория непротиворечивой, то есть, имеются ли вообще невыводимые замкнутые формулы формальной арифметики? Оказывается, что оба эти вопроса тесно связаны между собой. В оставшейся части курса мы попытаемся разобраться с этими вопросами.