2. Двійкова система числення. Правила переведення чисел у різні системи числення.

При цифровій обробці інформації широко використовується двійкова система числення . У війкові системі числення р=2. Алфавіт системи складається з двох цифр: 0,1. Любе додатне число В двійковій системі числення записується у вигляді дії:

B=b_n*2ⁿ + b_n-1*2 ^n-1 + …+ b₁*2¹ + b₀*2⁰ + b_-1*2^-1 +…+ b_-m*2^-m

де 2-основа системи, b_n – коефіцієнти системи, які приймають значення 0 або 1.

Число 0 і1 записуються в десятковій і війкові системах однаково. Починаючи з числа 2 запис чисел в двійковій системі відрізняються від їх запису в десятковій системі. Наприклад числа в двійковій системі записуються в виді:

(1)₂ =1*2⁰=1

(10) ₂ = 1*2¹ + 0*2⁰ =2

(11) ₂ = 1*2¹ + 1*2⁰ = 3

(100) ₂ = 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 4

(101) ₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 5

(110) ₂ = 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 6

(111) ₂ = 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 7

(1000) ₂ = 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 8

Із цього прикладу видно, що в двійковій системі одиниця кожного розряду(старшого) важить в рази більше одиниці сусіднього справа (молодшого розряду). Тому для запису деякого числа в двійковій системі числення необхідно мати більше число розрядів чим для запису цього числа в десятковій системі. Але не дивлячись на цей недолік двійкова система широко використовується в цифровій техніці завдяки тому , що для зображення одного розряду числа потрібний елемент з двома стійкими значеннями, одне із яких приймається за “0”, а друге за “1”. Арифметичні дії з війковими числами є найбільш простими порівняно з арифметичними діями над числами в інших позиційних системах числення.

В комп’ютерних системах помимо двійкової системи числення використовується вісімкова, шістнадцяткова і двійково-десяткова. Ці системи числення є допоміжними.

Перевагою вісімкової системи числення є те, що запис числа в ній в три рази коротший від запису числа в двійковій системі, а переводи із вісімкової системи в війкову і навпаки дуже прості. Якщо потрібно війкове число 11010010111 записати в вісімковому коді то його розбивають в обидві сторони від крапки, яка розділяє цілу і дробову частину на тріади і кожну тріаду представляють цифрою в вісімковій системі:

011 010 010 111

3 2 2 7

Отже (11010010111)₂ = (3227)₁₀

При переводі вісімкового числа в двійкове кожну цифру представляють тріадою в двійковому коді. Наприклад число (5327)₈ переводиться в двійковий код наступним чином:

5 3 2 7 тобто (5327)₈ = (101011010111)₂

101 011 010 111

В шістадцятковій системі числення за основу системи прийнято число 16 тому в ній використовується 10 цифр і 6 букв: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Буквам А=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Ця система числення використовується для представлення інформації в так званих машинних кодах в комп’ютерних системах. Перевід шістнадцяткових чисел в двійкові і навпаки подібний аналогічному перетворенню чисел в вісімковій системі з тією різницею, що замість двійкових тріад використовуються тетеради. Наприклад число (109)₁₆ переводиться в двійкове наступним чином:

1 0 9

0001 1101 1001

Якщо потрібно двійкове число перевести в шістнадцяткове, то його розбивають на, крайні неповні тетради доповнюють нулями, після чого кожну тетраду замінюють відповідною цифрою шістнадцяткової системи.

Замість шістнадцяткової системи часто використовується двійково-десяткова система числення, яка відрізняється від шістнадцяткової тим, що в ній кожна двійкова тетрада може приймати тільки значення: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Цю систему часто називають кодом 8,4,2,1 в якому цифри 8,4,2,1 визначають “вагу” значущих війкових цифр в коді (тетраді).

Переведення чисел. Будь яке десяткове число може бути записане в іншій системі числення наприклад у двійковій. Переведення чисел у війкову систему здійснюється в два етапи: спочатку переводиться десяткове число в систему з основою р=8, після чого отримане число переводиться у двійкову систему.

Перший етап.. Щоб перевести ціле число з десяткової системи в систему з основою “р” здійснити послідовне ділення даного числа “р” за таким алгоритмом:

1. Число поділити на “р”;

2. Знайти остачу і частку;

3. Якщо частка менша за “р”, то виконати пункт 6, якщо ні, то виконати пункт 4.

4. Розглянути частку як нове число;

5. Виконати пункти 1,2,3;

6. Прочитати результат.

Наприклад: перевести (125)₁₀ у вісімкову систему числення.

125 8

8 15 8

45 8 1

40 7

5