Итак, если линейная часть линейной асу является фильтром низких частот, т.Е. Выполняется неравенство:

/W_л(jkω₀)/<</W_л(jω₀)/, k=2,3,…, (9)

то в ней возможны автоколебания, которые на выходе линейной части (и, следовательно, на выходе нелинейности) близки к гармоническим. В этом случае вместо исходной нелинейной структурной схемы (рис.1) можно рассматривать линейную, изображённую на рис.2.

Рис.2

Последняя, однако, позволяет выявить специфические свойства линейной системы, так как коэффициенты q(A) и q^’(A) передаточной функции W_н.э.(A,р) гармонически линеаризованной нелинейности зависят от амплитуды А. При некоторых нелинейностях эти коэффициенты зависят также и от частоты ω₀ автоколебаний.

Метод исследования нелинейных систем, основанный на гармонической линеаризации нелинейной части системы, называется методом гармонической линеаризации или методом гармонического баланса.

Так как автоколебания близки к гармоническим, то они полностью определяются двумя параметрами: амплитудой А и частотой ω₀. Их значения могут быть найдены из условия, что незатухающие колебания возникают в линейной системе только в том случае, если она находится на границе устойчивости. Это условие, в частности на основании критерия устойчивости Найквиста, может быть записано в виде:

W_л(jω)_*W_н_._э.(A) = -1. (10)

Здесь W_н.э.(A) есть комплексный коэффициент передачи гармонически линеаризованного нелинейного элемента, и он определяется из его передаточной функции подстановкой р = jω:

W_н_._э.(A,р) = W_н_._э.(A,jω) = q(A) + jq^’(A). (11)

Подставив это выражение для W_н.э.(A), а также выражение

W_л(jω) = Q(jω)/D(jω)

для частотной передаточной функции линейной части, уравнение

(10) можно переписать так:

D(jω) + Q(jω){ q(A) + jq^’(A)} = 0. (12)

Каждое из комплексных уравнений (10) и (12) равносильно

системе двух действительных уравнений:

U(ω,A) = 0; V(ω,A) = 0, (13)

где U(ω,A) и V(ω,A) - действительные и мнимые части выражения

левой части уравнения (12).

Если уравнение (10) или, что то же, система (13) не имеет вещественных положительных решений, то в рассматриваемой АСУ автоколебания невозможны. Если же указанные уравнения имеют вещественные положительные корни ω₀и А₀, то это означает, что уравнения (12), описывающие свободные движения в АСУ, имеют решение:

х(t) = А_0* sin(ω_ot). (14)

Это решение определяет гармонические колебания, которые могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Только устойчивые колебания являются автоколебаниями.

Параметры ω₀и А₀гармонических колебаний могут быть определены графически. При этом уравнение (10) удобнее переписать следующим образом:

W_л(jω) = -W_н_._э^-1(A), (15)

или

W_л^-1(jω) = -W_н_._э.(A). (16)

В соответствии с равенством (15) на одной комплексной плоскости необходимо построить годограф W_л(jω), изменяя ω от 0 до ∞, и годограф -W_н.э^-1(A), изменяя А от минимального возможного значения (определяемого видом нелинейности) до ∞ (рис.3). Если решение (13) существует, то эти годографы пересекаются. По годографу -W_н.э^-1(A) в точке пересечения определяется амплитуда и по годографу W_л(jω) - частота ω₀ .

Порядок полинома числителя передаточной функции W_л(р) линейной части обычно меньше порядка полинома её знаменателя. Поэтому удобнее пользоваться равенством (16) и строить годографы

W_л^-1(jω) и -W_н.э.(A) (рис.4).

После определения параметров гармонических колебаний, необходимо исследовать их устойчивость. При графическом определении параметров, устойчивость проверяется следующим образом. На годографе -W_н.э^-1(A) или -W_н.э.(A) отмечается точка С, соответствующая амплитуде

А = А₀+ ΔА,

где ΔА - достаточно малое положительное число.

Если при движении по годографу W_л(jω) (рис.3,а ) или годографу W_л^-1(jω) (рис.4,а ) в сторону возрастания частоты точка С находится слева, то гармонические колебания устойчивы, справа (рис.3,б), (рис.4,б ) - неустойчивы.

В случае, когда q^’(A) = 0 (характеристика нелинейного элемента является однозначной), гармонические колебания, соответствующие параметрам А и ω₀, устойчивы, если W_н.э.(A) является убывающей функцией в окрестности точки А_0, то

(17)