Теоретическое введение

Процессы в нелинейных автоматических системах управления имеют ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах. Одной из таких особенностей является возможность возникновения автоколебаний.

Автоколебаниями называются асимптотически устойчивые свободные незатухающие колебания.

Системы, в которых возникают автоколебания, называются автоколебательными. Последние разделяются на системы с мягким и жестким режимами возбуждения. Автоколебательные системы называются системами с мягким режимом возбуждения, если в них колебания возбуждаются при любых бесконечно малых начальных возмущениях. Автоколебательные системы, устойчивые в малом, называются системами с жестким режимом возбуждения. В таких системах автоколебания возбуждаются только в том случае, когда начальные возмущения превышают некоторую конечную величину.

Для исследования автоколебаний широко используется метод, основанный на гармонической линеаризации. Гармоническая линеаризация производится следующим образом.

Рассмотрим АСУ, структурную схему которой можно привести к виду, изображённому на рис.1. Свободные движения g = 0 в этой

системе описываются уравнениями:

линейная часть:

х= W_л (p)*y; (1)

нелинейная часть:

y=F(x), (2)

где W_л (p) - передаточная функция ( в операторной форме );

p - оператор дифференцирования ( обозначает то же, что и символ d/dt ).

Рис.1

Допустим, что в системе возникают периодические колебания. Тогда y(t)=F(x(t)) будет периодической функцией времени и её можно разложить в ряд Фурье. Если нелинейность F(x) симметрична относительно начала осей координат, то это разложение имеет следующий вид:

y(t)=b_1*sin(ω_ot)+a_1*cos(ω_ot)+высшие гармоники, (3)

где a₁, b₁ - коэффициенты Фурье;

ω₀ = 2π/T;

T - период колебаний.

Линейная часть реальной АСУ, как правило, является фильтром низких частот, т.е. пропускает без существенного ослабления первую гармонику входного сигнала и почти полностью подавляет его внешние гармоники. Поэтому при расчёте сигнала на выходе линейной части этими гармониками можно пренебречь и принимать, что на её входе имеем:

y(t)=b_1*sin(ω_ot)+a_1*cos(ω_ot). (4)

Выходной сигнал линейной части x(t) является гармонической функцией той же частоты ω₀, но отличается от y(t) амплитудой и фазой.

x(t) = A_*sin(ω_ot); px(t) = ω_o*A_*cos(ω_ot). (5)

Сдвиг по фазе принят равным нулю, так как этого можно достичь соответствующим выбором начала отсчёта времени.

Из (5) определяем

sin(ω_ot) = x(t)/ A; cos(ω_ot) = px(t) / (ω_o*A); (6)

и подставляем в (4). Тогда получаем:

y(t) = {q(A) + q^’(A)_*p/ω_o }_*x(t), (7)

где q(A) = b₁/A,

q^’(A) = a₁/A.

Изложенный переход от нелинейной зависимости у = F(x) к линейной зависимости (7) называется гармонической линеаризацией. Из (7) можно определить передаточную функцию гармонически линеаризованного нелинейного элемента:

W_н.э.(A,р) = q(A) + q^’(A)_*p/ω_0, (8)

где q(A) и q^’(A) - коэффициенты гармонической линеаризации.