III. Отрицание высказываний
Опр. 1. Отрицанием некоторого высказывания α называется такое высказывание, которое истинно, когда α ложно, и ложно, когда α истинно.
Обозначают отрицание
высказывания α символом
,
читают « не α» или
«неверно, что α». Определение
отрицания можно записать в виде таблицы
истинности.
|
|
и |
л |
л |
и |
Примеры:
:
«Число 4 ∶
2»;
:
«Неверно,
что число 4 ∶
2» или
:
«Число 4 не
делится на 2»
Опр. 2. Отрицание отрицания называется двойным отрицанием.
Обозначается
двойное отрицание двумя чертами:
.
Двойное отрицание равносильно
высказыванию
:
≡
.
Это утверждение можно доказать с помощью
таблицы истинности:
|
|
|
и |
л |
и |
л |
и |
л |
Отрицание составных высказываний подчиняется законам де Моргана
Первый закон де Моргана: Отрицание конъюнкции двух высказываний α и β равносильно дизъюнкции их отрицаний:
α /\ β ≡ α V β
док-во
α |
β |
α |
β |
α /\ β |
α /\ β |
α V β |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
и |
Второй закон де Моргана: Отрицание дизъюнкции двух высказываний α и β равносильно конъюнкции их отрицаний:
α V β ≡ α /\ β
док-во
α |
β |
α |
β |
α V β |
α V β |
α /\ β |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
и |