§ 5. Лекция. Том. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний, законы этих операций (с доказательством). Отрицание элементарных и составных высказываний. Законы де Моргана.

Опр.1. Конъюнкцией двух высказываний α и β называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания α и β.

Конъюнкцию будем обозначать символом α /\ β и читать «α и β». Определение конъюнкции можно записать в виде таблицы истинности:

α β α /\ β и и и и л л л и л л л л

Примеры: «Число 4 ∶ 2 и 4 – составное число»(И) «Число 4 ∶ 2, и 4 – простое число»(Л)

Законы конъюнкции

1. Коммутативный закон конъюнкции: α /\ β ≡ β /\ α

док-во

α	β	α /\ β	β /\ α
и	и	и	и
и	л	л	л
л	и	л	л
л	л	л	л

Значения истинности в 3-й и 4-ой колонках совпали, значит закон выполняется.

1. Ассоциативный закон конъюнкции:

(α /\ β) /\  ≡ α /\ (β /\ )

док-во

α	β		α /\ β	(α /\ β) /\ 	β /\ 	α /\ (β /\ )
и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	л	л
и	л	и	л	л	л	л
л	и	и	л	л	и	л
и	л	л	л	л	л	л
л	и	л	л	л	л	л
л	л	и	л	л	л	л
л	л	л	л	л	л	л

II. Дизъюнкция высказываний

Опр 1. Дизъюнкцией двух высказываний α и β называ­ется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний α или β. Другими словами, дизъюнкция ложна тогда и только тогда, ко­гда ложны оба высказывания α и β, и истинна во всех остальных случаях.

Дизъюнкцию будем обозначать символом α V β и читать «α или β». Определение дизъюнкции можно записать в виде таблицы истинности:

α β α V β и и и и л и л и и л л л

Примеры: «Число 4 ∶ 2 или 4 – составное число»(И) «Число 4 ∶ 2 или 4 – простое число»(И) «Число 4 ∶ 3 или 4 – простое число»(Л)