Теоретичні відомості із корегуючих циклічних кодів

Властивості циклічних кодів

1. Якщо утворюючий багаточлен містить більш одного члена, то циклічний код виявляє всі одиночні спотворення. При представленні циклічного коду багаточленами одиночна спотворення описується одночленом Е(х) = х^і, де і - указує номер спотвореного розряду (0 ≤ і ≤ n - 1). Оскільки одночлен не ділиться на багаточлен без залишку, то спотворення буде виявлена.

2. Циклічний код із утворюючим багаточленом Р(х) = х + 1 виявляє всі непарні спотворення. Використовуючи правила побудови перевірочної матриці для Р(х) = х + 1, одержимо

Н = .

При такий перевірочний матраці залишок визначається сумою за модулем 2 всіх елементів прийнятої кодової комбінації (перевірка на парність). Тому всі спотворення на непарній кількості позицій будуть виявлені.

3. Циклічний код з багаточленом Р(х) дозволяє знайти всі одиночні і дворазові спотворення, якщо число розрядів у кодовій комбінації (n) не більш довжини циклу цього багаточлена (е), тобто n ≤ e. Під довжиною циклу багаточлена розуміють мінімальний показник ступеня двочлена х^е + 1, при якому цей двочлен поділяється без залишку на Р(х). Дворазова спотворення описується двочленом виду хⁱ + х^j = х^j (х^i-j + 1). При n ≤ е завжди справедлива нерівність i - j < е. З визначення довжини циклу випливає, що двочлен (х^i-j +1) не поділяється без залишку на Р(х). Якщо довжина кодової комбінації більше е, тобто n > е, то всі спотворення, що відображаються багаточленом спотворення Е(х) = G(x)(х^l + 1), не будуть виявлені. Тут G(x) - багаточлен будь-якого ступеня. Отже, при вибраному багаточлені Р(х) степеня k і довжині циклу е число інформаційних розрядів у кодовій комбінації повинне дорівнювати m ≤ l – k (тому що n = m + k)

1. Циклічної код з багаточленом Р(х) ступеня k виявляє 100% групових помилок тривалістю в k розрядів і менш. Будь-яке групове спотворення в k розрядів описується багаточленом ступеня (k – 1). Багаточлен же ступеня (k – 1) на багаточлен ступеня k не поділяється.

2. З усіх помилок довжиною (k + 1) розрядів не виявляється 1/2^{(k – 1)} частина.

Приклад. Для утворюючого полінома Р(х) = х³ + х + 1 помилку в 4 розряди описують багаточлени

х³ +х² +х + 1, х³ +х² + 1,

Е₁(х) = х³ +х + 1, х³ + 1.

Число цих багаточленів дорівнює 2^k-1 = 4. Тільки групова спотворення, описувана багаточленом Е₁(х) = х³ +х² + 1, не виявляється. Отже, відносне число невиявлених помилок четвертої кратності дорівнює 1/2^k-1 = 1/4.

3. З усіх помилок довжиною k = 1 розрядів не виявляється 1/2^k частина. Подібні спотворення описується багаточленом Е₁(х) = х^іЕ₁ (х), при цьому ступінь Е₁(х) дорівнює (k + s) (s = 1, 2, …)...При розподілі такого багаточлена на Р(х) виходить 2^k різних залишків, з яких тільки один дорівнює 0 (що свідчить про не виявлення спотворення). У результаті відносне число невиявлених помилок дорівнює 1/2^k.

Аналізуючи перераховані властивості циклічного коду, можна побачити, що можливості коду по виправленню помилок цілком визначаються утворюючим багаточленом Р(х). Загальних правил при виборі утворюючого багаточлена не існує, хоча при будь-яких умовах за основу беруться властивості коду. (Таблиці багаточленів, що не приводяться, і довжину їхніх циклів можна знайти в спеціальній літературі, присвяченій завадостійким кодам. Деякі із цих поліномів наведено в табл. 1).

Таблица 1

k-ступінь поліному G(х)	Породжуючий поліном G(х)	Запис поліному по mod 2	Запис поліному по mod 8	n	m	Примітка
1	x+1	11	3	3	2	Код з перевіркою на парність
2	x 2+ x +1	111	7	3	1	Код с повторенням
3	x 3+ x 2+1	1101	13	7	4	Класичний код
	x 3+ x +1	1011	15	7	4	Код Хеммінга
4	x4+ x3+1	11001	31	15	11	Класичний код
	x4+ x+1	10011	23	15	11	Код Хеммінга
	x4+ x2+ x+1	10111	27	7	3	Коди Файра- Абрамсона
	x4+ x3+ x2+1	11101	35	7	3
5	x5+ x2+1	100101	45	31	26	Класичний код
	x5+ x3+1	101001	51	31	26	Код Хеммінга
	…	…	…	…	…
6	x6+ x5+ x4+ + x3+ x2+ x1+1	1111111	177	7	1	Код с повторенням
	...	...	...