1. Закон распределения случайной величины ;

2. вычислить M(Z) и D(Z) двумя способами: а) пользуясь законом распределения ; б) применяя свойства математического ожидания и дисперсии.

Решение:

1. Чтобы найти закон распределения Z, вычислим все ее значения, которые получим, рассматривая каждое из возможных значений случайной величины X в паре с каждым из возможных значений случайной величиныY. Подставляя значения и в выражение , найдем значение . Вероятность его получим, перемножив соответствующие вероятности 0,2 значения и 0,4 значения ,т.е. . Аналогично вычисляются все остальные значения и соответствующие им вероятности:

;

;

;

;

; .

Полученные результаты занесем в таблицу, располагая значения Z в порядке возрастания:

	-3	-1	0	1	2	4
	0.12	0.18	0.08	0.3	0.12	0.2

а) Пользуясь законом распределения Z, найдем и :

.

= , где

б) Пользуясь свойствами, найдем и :

0,8, где

0,3

1,6

4,6, где

= 0,61,

= = 0,24

Ответ: M(Z)=0,8; D(Z)=4,6.

ЗАДАНИЕ 4

Прежде чем приступить к выполнению этого задания, следует выучить определение нормального распределения, вид дифференциальной функции, уметь строить ее график (кривую Гаусса), знать вероятностный смысл основных параметров и нормального распределения.

Типовой пример:

– нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти: 1) ; 2) ; 3) построить кривую Гаусса и на ней пояснить геометрический смысл полученных результатов.

Решение:

1) Вероятность того, что нормальная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , вычисляется по формуле

,

где – функция Лапласа.

Полагая , получим:

.

Значения и нашли по таблицам приложения 2 учебника [3] . Кроме того, учли свойство нечетности функции Лапласа: .

2) Вероятность того, что модуль отклонения нормальной случайной величины не превысит величины , вычисляется по формуле:

.

Полагая , найдем:

.

3) Для построения кривой Гаусса следует знать координаты точки ее максимума и двух точек перегиба и . В нашем примере точка максимума имеет координаты , а точки перегиба - и . При построении кривой Гаусса для большей наглядности целесообразно выбирать разный масштаб вдоль координатных осей (см. рис. 1).

Вероятность попадания случайной величины в интервал геометрически равна площади криволинейной трапеции, построенной на интервале оси абсцисс и ограниченной сверху кривой Гаусса, т. е. .

В ероятность того, что модуль отклонения не превысит единицы, равна площади криволинейной трапеции, имеющей основанием интервал , т. е. , и ограниченной сверху кривой Гаусса: .

Рис. 1

ЗАДАНИЕ 5

Для выполнения этого задания необходимо знать основные понятия, задачи и методы математической статистики. В частности, понятие выборки, выборочных средних характеристик, алгоритм метода произведений, понятие доверительного интервала для оценки неизвестных статистических параметров.

Типовой пример:

Методом произведений найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение количественного признака X, имеющего статистическое распределение:

xi	10,3	12,3	14,3	16,3	18,3	20,3
ni	13	19	27	21	11	9

Считая количественный признак распределенным по нормальному закону, найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью

Решение

Для удобства вычислений составим следующую таблицу

xi	ni	ui	uini	ui2ni	(ui+1)2ni
10,3	13	-2	-26	52	13
12,3	19	-1	-19	19	0
14,3	27	0	-45	0	27
16,3	21	1	21	21	84
18,3	11	2	22	44	99
20,3	9	3	27	81	144
			70
	N=100		=25

по правилам:

1. в столбец x_i вносим все варианты;

2. в столбец n_i записываем частоты; сумму частот N помещаем в нижнюю строку;

3. выбираем ложный нуль C=14,3 (это варианта, расположенная в середине ряда и имеющая наибольшую частоту) и в столбце u_i ставим 0 против указанной варианты. Над нулем последовательно проставляем –1, –2 и т. д., а под нулем 1, 2 и т. д.;

4. в столбце u_in_i записываем произведения условных вариант u_i на соответствующие частоты n_i; подсчитываем сумму –45 отрицательных и 70 положительных произведений; их сумму 25 помещаем в нижнюю строку;

5. в столбце u_i²n_i записываем произведения квадратов вариант на соответствующие частоты; их сумму 217 помещаем внизу;

6. в столбец (u_i+1)²n_i записываем произведения условных вариант, увеличенных на единицу, и соответствующих частот; их сумму 367 записываем в нижней клетке столбца.

Чтобы убедиться в правильности вычислений, проверим равенство:

Найдем

,

.

Шаг h вариационного ряда равен разности между любыми соседними вариантами:

h=12,3-10,3=2.

Выборочную среднюю найдем по формуле

.

Выборочная дисперсия D_в определяется по формуле

.

Выборочное среднее квадратическое отклонение будет равно

.

Замечание: в контрольной работе при оформлении решения задания 5 комментарии по заполнению таблицы приводить не надо. Решение должно содержать таблицу, значения ложного нуля C, шага h и вычисления , , , и .

Решение:

Найдем доверительный интервал , где Определим t как аргумент функции Лапласа из равенства:

По таблицам приложения 2 учебника [3] найдем t = 1,96.

Следовательно,

Итак, искомый доверительный интервал равен: (14,8-0,568; 14,8+0,568), т.е. 14,232<a<15,368.Это значит, сто при достаточно большом числе выборок можно ожидать, что в 95% их математическое ожидание попадет в указанный доверительный интервал.

ЗАДАНИЕ 6

Это задание требует знание понятия корреляционной зависимости, уравнения прямой линии регрессии, выборочного коэффициента корреляции.

Типовой пример

Пусть известны значения товарооборота Y в миллионах рублей за 5 истекших лет (X - год), заданные таблицей:

X	1	2	3	4	5
Y	2	4	3	5	4

1. Составить уравнение линии регрессии, предполагая линейную корреляционную зависимость товарооборота от времени.

2. Оценить тесноту связи между факторами X и Y по значению выборочного коэффициента корреляции r_в.

3. Спрогнозировать товарооборот на 6-й и 8-й годы.

4. Выполнить график линии регрессии. Эмпирические значения товарооборота нанести на график звездочками.

Решение:

Заполним следующую таблицу:

(год)	(млн. р.)
1	2	2	1	4
2	4	8	4	16
3	3	9	9	9
4	5	20	16	25
5	4	20	25	16

где

; ;

;

; .

1. Составим уравнение y_x=kx+b линии регрессии. Параметры k и b найдем по формулам:

;

.

Найденные значения k и b подставим в уравнение линии регрессии Y на X и получим

y_x=0,5x+2,1. (*)

2. Вычислим выборочный коэффициент корреляции r_в по формуле

,

где ,

, k=0,5.

Получим .

Так как , то между факторами X и Y существует достаточно тесная корреляционная зависимость.

3. Определим, каким ожидается товарооборот:

а) на 6-й год. Полагая в уравнении регрессии (*) x=6, получим:

(млн. руб.).

б) на 8-й год. При x=8 получим:

(млн. руб.).

4. Построим прямую линию регрессии Y на X: y_x=0,5x+2,1. Прямая строится по любым двум точкам: при x=0 y=2,1; при x=1 y=2,7. Соединяя точки (0; 2,1) и (1; 2,7), проводим прямую линию регрессии (рис.2). На пересечении пунктирных прямых отмечаем эмпирические точки наблюдения.

у

4

5

3

2,1

1

1

2

3

4

5

x

0

Рис.2