Лекции Мат.стат. (2007-2008) / stat12_07

Лекция 12.

Проверка параметрических гипотез.

Предположим, что выборка X = (X1; :::; Xn) взята из совокупности, распределение которой P (Xj < u) = F (u; ) полностью определяется значением параметра : Относительно числового параметра этого распределения

Обычно критическая область задается с помощью некоторой статистики T (X) и имеет, как правило, следующий вид: K = fX : T (X) Cg; èëè

K = fX : T (X) Cg èëè K = fX : jT (X)j Cg: Статистику T (X) называют в этом случае статистикой критерия. Запись P (X 2 K) означает, что вероятность вычисляется относительно распределения, задаваемого F (u; ):

Определение. Функцией мощности критерия (X) мы будем называть

W ( ) = P (X 2 K); 2 :

Определение. Если W ( ) ; 2 0; то критерий называется критерием уровня проверки гипотезы H0 : 2 0:

Åñëè 0 = 0; то гипотеза H0 - простая и W ( 0) = P 0 (X 2 K) = (ошибка первого рода для критерия (X)).

Åñëè 1 = 1; то гипотеза H1 - простая и W ( 1) = P 1 (X 2 K) = W = 1 ( - ошибка второго рода критерия (X):)

Определение. Если для критерия проверки гипотезы H0 : 2 0 при альтернативе H1 : 2 1

w ( ) ; 2 0; w ( ) ; 2 1;

то критерий называется несмещенным критерием уровня :

Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормальных распределений.

Проверка гипотез о среднем значении нормальной совокупности. Пусть X = (X1; :::; Xn) выборка из совокупности, имеющей нормальное распределение: Xj N(a; 2): Относительно параметра имеются две гипотезы

H0 : a = a0;

H1 : a > a1:

1

a) Рассмотрим сначала случай, когда - известно. Если верна гипотеза H0; то распределение статистики

p

T (X) =

n(X a0)

имеет стандартное нормальное распределение. Возьмем теперь в качестве критической области K = fX : T (X) u1 g: Рассмотрим критерий

(

(X) = H0; T (X) u1 H1; T (X) < u1 :

Преобразуем немного неравенства для критической области

Этот критерий совпадает с наиболее мощным критерием уровня ; постро-

енным с помощью леммы Неймана - Пирсона для проверки простой гипотезы H0 против простой альтернативы a = a1; a1 > a0: Так как этот критерий не зависит от a1; то этот критерий является наиболее мощным критерием уровня при любом значении a > a0:

Мы вычисляли мощность этого критерия при каждом a > a0 è ýòà ìîù-

Определение. Критерий уровня ; мощность которого максимальна при каждом значении параметра a 2 H1; называется равномерно наиболее мощным критерием уровня :

Из перечисленных свойств описанного выше критерия (X) следует, что этот критерий является равномерно наиболее мощным критерием уровня :

Замечание Критерий

(

H ; X a + u(X) = 1 0 pn

H ; X > a + u :

0 0 pn

- равномерно наиболее мощный критерий уровня для проверки гипотезы

H0 : a = a0

при альтернативе

H1 : a < a0:

2

Пример. В бутылке должно находится 200 мл минеральной воды. Из партии было проверено 100 бутылок и обнаружено, что в среднем в бутылке 199 мл. Предполагая, что стандартное отклонение для объема минеральной воды в одной бутылке равно 5 мл, определить, является ли выявленное отклонение значимым, при альтернативе о среднем недоливе бутылок минеральной воды.

Естественно предположить, что количество минеральной воды распределено нормально с параметрами a; :

отклонена. При 1% уровне значимости нет оснований отклонять гипотезу

H0:

Пусть теперь нужно проверить гипотезу H0 : a = a0; а альтернатива H1 : a 6= a0: Рассмотрим критерий

По построению этот критерий - критерий уровня : Подсчитаем теперь мощность этого критерия при любом a 6= a0:

3

Пример.Процесс упаковки сахара считается нормальным, если в упаковку помещается 1000 г сахара со стандартным отклонением 12г. Для контроля качества упаковки каждый час проверяется 16 коробок сахара. В результате очередной проверки было обнаружено, что средний вес коробки равен 1003г. Является ли это достаточным основанием для остановки процесса и устранения неисправности? Уровень значимости полагается равным 0.05.

Гипотеза H0 : a = 1000

Гипотеза H1 : a 6= 1000

p

n(X 1000)

Значение статистики 12 равно 1. Верхнее и нижнее значения p- value равны соответственно 0.159 и 0.841. Поэтому оснований для остановки

процесса нет.

Замечание. Если даже случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то при повторяющихся много раз наблюдениях с большой вероятностью могут встретиться недопустимо большие значения этой случайной величины.

б) Теперь посмотрим, что изменится, если рассматривается выборка из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией и нужно проверить гипотезу

H0 : a = a0

при альтернативе

H1 : a > a0:

Известно, что если верна гипотеза H0; то статистика p

T (X) =

n 1(X a0)

S

Также, как и раньше можно убедиться в том, что это критерий уровня значимости : При любом a > a0 мощность этого критерия w(a) ! 1 при n ! 1:

Пусть теперь проверяется гипотеза

4

является критерием уровня и мощность этого критерия при любом a < a0 стремиться к единице.

Если проверяется также гипотеза H0 при альтернативе H1 : a 6= a0; òî

является состоятельным критерием уровня :

Пример.Страховая компания нанимает агентов с оплатой через комиссионные сборы. Компания утверждает, что в первый год работы будут зарабатывать среднюю комиссию по крайней мере 40000$ в год. Случайная выборка 9 агентов показала, следующие результаты величины комиссий

99

XX

Распределение совокупности можно считать нормальным. Проверить на 5% уровне значимости гипотезу о том, что среднее совокупности не меньше 40т.

Гипотеза H1 : a < 40; поэтому критическая область T (X) t(8; 0:05) =1:85; p value = :322038: Данные не противоречат утверждению страховой

компании.

Проверка гипотез о числовом значении дисперсии нормальной совокупности. Предположим, что выборка X = (X1; :::; Xn) взята из нормальной совокупности N(a; 2): Предположим также, что мы хотим прове-

рить нулевую гипотезу H0 : 2 = 02 против одной из трех альтернатив

H1 : 2 > 02;

H1 : 2 < 02;

H1 : 2 6= 02:

При этом критериями уровня являются следующие критерии:

(H1; nS22 2(n 1; 1 =2) èëè nS22 < 2(n 1; =2)

(X) = 02 0

H0; nS2 < 2(n 1; 1 )

0

5

Все эти критерии имеют уровень значимости и состоятельны каждый

при своей альтернативе.

Пример. Фирма предлагает новую установку по упаковке кофе. Фирма заявляет, что новая установка более точная, чем старая. Старая установка имеет точность = 5 гр: На 5% уровне значимости проверить утверждение

фирмы.

Для проверки утверждения фирмы был приглашен независимый эксперт. Шесть независимых проб дали следующие результаты

равна 1.253 и это значение

больше 2(5; 0:05) = 1:145: Поэтому нет оснований на 5% уровне значимости доверять утверждению фирмы.

6