Лекции Мат.стат. (2007-2008) / stat9_07

Лекция 9.

Сейчас мы будем иметь дело только с выборками из совокупностей с нормальным распределением N(a; 2):

I. Построить доверительный интервал для параметра a: Снача- ла мы будем предполагать, что параметр нам известен.

Для этого случая мы уже строили доверительный интервал и пользова-

имеет стандартное нормальное распределение. Доверительный интервал для этого случая, как было показано выше, равен

II. Построить доверительный интервал для параметра ; считая при этом параметр a известным.

В качестве центральной статистики нужно взять

n

G(X; ) = 12 X(Xj a)2:

j=1

Легко показать, что эта статистика имеет хи-квадрат распределение с n ñòå-

пенями свободы. Дальнейшие шаги в построении доверительного интервала для 2 состоят в следующем. По таблицам находят квантили 2(n; =2); 2(n; 1

=2): Тогда

Отсюда получаем доверительный интервал для 2

С помощью теоремы Фишера можно строить теперь доверительные интервалы для каждого из параметров нормальной совокупности, если второй параметр при этом также неизвестен.

III. Доверительный интервал для :

Пусть мы хотим построить доверительный интервал для параметра 2 и параметр a - неизвестен. В качестве центральной статистики рассмотрим

2 nS2

G(X; ) = 2 :

1

По таблицам находим квантили 2(n 1; =2); 2(n 1; 1 =2) ðàñ-

Эта статистика имеет распределение Стьюдента с n 1 степенью свободы. Находим при заданной доверительной вероятности 1 квантили t(n

1; =2); t(n 1; 1 =2): Тогда

P (t(n 1; =2) < G(X; a) < t(n 1; 1 =2)) = 1 :

Из этого выражения получаем доверительный интервал для параметра

Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля. Так же, как и в случае стандартного нормального распределения, можно показать, что доверительный интервал имеет минимальную длину, если берутся симметричные относительно нуля квантили: t(n 1; =2) = t(n 1; 1 =2): Если

теперь вспомнить, что

V. Доверительный интервал для разности средних двух нормальных совокупностей.

а) Совокупности различаются лишь средними значениями. Дис-

персии этих совокупностей равны.

Пусть X = (X1; :::Xn) выборка из нормальной совокупности N(aX; 2); а выборка Y = (Y1; :::; Ym) из нормальной совокупности N(aY ; 2): Пусть

2

эти две выборки - независимы. Таким образом эти две совокупности разли- чаются только своим средними значениями и требуется оценить разность средних значений aX aY : Эту задачу называют задачей сравнения сред-

íèõ.

Статистика X имеет распределение N(aX; 2=n): Статистика Y имеет распределение N(aY ; 2=n): Разность двух нормально распределенных

независимых случайных величин также нормально распределена с параметрами aX aY ; 2(1=n + 1=m):

Если из нормально распределенной случайной величины вычесть ее математическое ожидание и поделить на корень из дисперсии, то отнормированная таким образом случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. То есть, статистика

имеет стандартное нормальное распределение. Будем через SX2 è SY2 îáî- значать выборочные дисперсии выборок X; Y соответственно. По теореме

Фишера случайные величины

nSX2 ; mSY2

2 2

имеют распределение хи-квадрат с n 1 è m 1 степенью соответственно.

Кроме того, эти две случайные величины независимы.

Из определения распределения хи-квадрат следует, что если складываются две независимые случайные величины, каждая из которых распределена по закону хи-квадрат, то сумма этих случайных величин также распределена по закону хи-квадрат. При этом степень свободы суммы равна сумме степеней свободы слагаемых. Поэтому статистика

распределена по закону хи-квадрат с числом свободы n + m 2 и, кроме того, эта случайная величина не зависит от случайной величины Z:

Из всего сказанного следует, что

имеет распределение Стьюдента с n + m 2 степенями свободы. В эту ста- тистику входит разность aX aY и ее распределение полностью известно. Поэтому эту статистику можно использовать в качестве центральной G(X; Y; aX aY ) для построения доверительного интервала для разности aX aY :

3

Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля. Поэтому, как и в случае стандартного нормального распределения надо взять симметричные квантили t(m + n 2; =2) = t(n + m 2; 1 =2) и тогда

P ( t(n + m 2; 1 =2) < G(x; aX aY ) < t(n + m 2; 1 =2)) = 1 :

Доверительный интервал с доверительной вероятностью 1 для разности

б.)Построение доверительных интервалов, для разности средних значений нормальных совокупностей, когда дисперсии раз-

личны, но известны.

Пусть X = (X1; :::Xn) выборка из нормальной совокупности N(aX; X2 ); а выборка Y = (Y1; :::; Ym) из нормальной совокупности N(aY ; Y2 ): Пусть эти две выборки - независимы, а дисперсии X2 ; Y2 èçâåстны. Рассуждая

как и раньше, получаем, что выборочные средние X; Y имеют нормаль-

ное распределение N(aX; X2 =n); N(aY ; Y2 =m) соответственно. Поэтому разность X Y имеет нормальное распределение N(aX aY ; X2 =n + Y2 =m):

Тогда статистика

распределение и может использоваться для построения доверительного интервала для разности aX aY : Доверительный интервал c доверительной вероятностью 1 ; построенный с помощью

этой статистики равен

q

X Y u1 =2 X2 =n + Y2 =m :

VI. Построение доверительного интервала для отношения дис-

персий двух нормальных совокупностей.

Пусть X = (X1; :::Xn) выборка из нормальной совокупности N(aX; X2 ); а выборка Y = (Y1; :::; Ym) из нормальной совокупности N(aY ; Y2 ): Пусть

эти две выборки - независимы. Предположим, нужно построить доверительный интервал для отношения дисперсий этих совокупностей.

Как было показано, статистики

4

имеют распределение хи-квадрат с n 1 è m 1 степенью свободы соот-

ветственно. Кроме того, эти статистики независимы. Но было определено распределение Фишера

(m 1) 2(n 1) F (n 1; m 1) = (n 1) 2(m 1):

Здесь 2(n 1); 2(m 1) случайные величины с распределением хи-квадрат с n 1 è m 1 степенью свободы соответственно. Поэтому, в качестве цен-

тральной статистики при построении доверительного интервала для отношения дисперсий можно брать

Эта статистика имеет распределение Фишера со степенями свободы m 1; n 1: Если теперь F (n 1; m 1; =2); F (n 1; m 1; 1 =2) квантили F-распределения, то

P (F (m 1; n 1; =2) < G(X; Y; X= Y ) < F (m 1; n 1; 1 =2)) = 1 :

Отсюда доверительный интервал с доверительной вероятностью 1 для отношения дисперсий равен

Приближенные (асимптотические) доверительные интервалы.

Определение. Пусть X = (X1; :::; Xn) некоторая выборка из совокупности с распределением F (x; ): Интервал (T1(X); T2(X)) называется асимптотическим доверительным интервалом с доверительной вероятностью 1

для параметра ; åñëè

lim P (T1(X) < < T2(X)) = 1 :

n!1

Общая схема построения асимптотических доверительных интервалов.

Общая схема построения асимптотических доверительных интервалов совпадает с общей схемой построения доверительных интервалов.

1. Сначала нужно найти центральную статистику G(X; ); распределение которой при n ! 1 слабо сходится к известному распределению, не зависящему от параметра :

P (G(X; ) < x) ! G(x):

5

2.По функции распределения G(x) находятся квантили g1; g2 такие, что

P (g1 < G(X; ) < g2) ! G(g2) G(g1) = 1 :

3.Неравенство в 2 под знаком вероятности разрешается относительно :

Построения доверительного интервала для среднего (математического ожидания) совокупности.

Пусть выборка X = (X1; :::; Xn) взята из совокупности, про которую

известно лишь, что у нее существует математическое ожидание a = EXj и дисперсия 2 = DXj: Для построения асимптотического доверительного

интервала для параметра а мы будем пользоваться центральной предельной теоремой. Согласно центральной предельной теореме

и Y - случайная величина со стандартным нормальным распределением. Кроме того, S2 сходится по вероятности к 2: По теореме Слуцкого =S

сходится по вероятности при n ! 1 к 1. Тогда статистика

слабо сходится при n ! 1 к стандартному нормальному распределениюю. Итак, мы получили, что

P (X u1 =2 pn < a < X + u1 =2 pn) 1 :

6