3.3Статистический прогноз по одной точке

Алгоритм прогноза имеет вид:

,

ошибка прогноза:

а средний квадрат ошибки:

оказывается зависящим от .

Алгоритм предполагает значение отклонения процесса от среднего в момент t_o, т.е. одной точки предыстории, значения нормированной корреляционной функции () и математического ожидания.

С ростом  () по абсолютной величине убывает, предсказанные значения все меньше отличаются от математического ожидания процесса m_x , т.е. алгоритм осуществляет прогноз по математическому ожиданию.

Фактически корреляционная функция приходит к нулю в конечное время – в течении интервала корреляции.

Если процесс X(t) – белый шум и его корреляционная функция равна нулю всюду, кроме  = 0 , алгоритм для любого значения предскажет .

Проследим за изменением (рис.4). При  = 0, когда  (0)=1, При  =  , кривая начинается как аналогичная кривая для прогноза нулевого порядка, и приходит к значению, присущему прогнозу по математическому ожиданию. При этом при любых  статистический прогноз оказывается лучше обоих предыдущих, так как его меньше.

3.4Статистический прогноз по двум и более точкам

Итак, привлечение для прогнозирования все более полной информации о процессе позволяет уменьшить ошибку предсказания. Следует ожидать, что использование двух и более точек предыстории позволит еще больше повысить эффективность прогноза.

Выражение для предсказанного значения весьма громоздко:

Средний квадрат ошибки растет медленнее, чем в предыдущем случае, но в тех же пределах: .

Привлекая все новые точки предыстории, можно улучшить прогноз, но не беспредельно. С одной стороны, ясно, что предыстория, удаленная более чем на интервал корреляции, не поможет делу.

4Задание к лабораторной работе

1. Внимательно изучить алгоритм расчета корреляционной функции и различные методы прогноза.

2. Используя М-файл, текст которого приведен в приложении А, смоделировать процессы:

1. Синусоидальный;

2. Синусоидальный с наложенным высокочастотным шумом (см. строку 10 М-файла из приложения А);

3. Случайный нормально распределенный;

Для генерации случайных чисел с нормальным законом распределения использовать функцию MATLAB normrnd, имеющую следующий формат:

R = normrnd(MU,SIGMA, [m n]) – возвращает матрицу размерности mxn, элементами которой являются случайные числа равномерно распределеные со средним MU и средним квадратичным отклонением SIGMA.

4. Случайный равномерно распределенный.

Для генерации случайных чисел с равномерным законом распределения использовать функцию MATLAB rаnd, имеющую следующий формат:

Y = rand([m n]) – возвращает матрицу размерности mxn, элементами которой являются случайные числа равномерно распределеные в интервале от 0 до 1.

Параметры для моделирования процессов выбрать из таблицы 1 в соответствии с номером варианта, указанным преподавателем.

Построить для смоделированных процессов графики автокорреляционных функций. Произвести их сравнение и сделать вывод.

Таблица 1 – Параметры для моделирования случайных процессов

№ Ва-ри-анта	Процесс
	Синусоидальный	Синусоидальный с наложенным высокочастотным шумом	Случайный нормально распределенный	Случайный равномерно распределенный
1	А=3; f=10; 15	А=0,3; f=10; 5	mx=0,3; σ=0,2	от 0,1 до 0,7
2	А=2; f=20; 5	А=0,3; f=20; 5	mx=0,15; σ=0,5	от 0 до 0,3
3	А=0,3; f=30; 50	А=0,3; f=30; 5	mx=0,04; σ=0,02	от 0,01 до 0,05
4	А=0,1; f=40; 10	А=0,3; f=40; 5	mx=0,035; σ=0,005	от 0 до 0,07
5	А=2,5; f=50; 20	А=0,3; f=50; 5	mx=0,25; σ=0,3	от 0 до 0,5
6	А=1,5; f=60; 45	А=0,3; f=60; 5	mx=0,25; σ=0,1	от -0,1 до 0,4
7	А=1,3; f=70; 40	А=0,3; f=70; 5	mx= - 0,3; σ=0,2	от –0,5 до 0,1
8	А=4; f=80; 5	А=0,3; f=80; 5	mx=2,25; σ=0,5	от 2 до 2,5
9	А=0,8; f=90; 10	А=0,3; f=90; 5	mx= - 0,2; σ=0,2	от –0,4 до 0
10	А=0,4; f=100; 25	А=0,3; f=100; 5	mx=0,35; σ=0,1	от 0,3 до 0,4
11	А=0,8; f=40; 1	А=0,3; f=40; 5	mx=0,25; σ=0,2	от 0,2 до 0,3
12	А=0,9; f=20; 7	А=0,3; f=20; 5	mx=0,1; σ=0,1	от –0,1 до 0,3
13	А=2,1; f=30; 12	А=0,3; f=30; 5	mx=0.3; σ=	от –0,5 до –0,1
14	А=1,6; f=60; 5	А=0,3; f=60; 5	mx= - 1,5; σ=0,2	от –0,3 до 0
15	А=1,4; f=80; 20	А=0,3; f=80; 5	mx=0,2; σ=0,15	от 0,1 до 0,3

3. Построить графики автокорреляционной функции для трех выборок своего варианта (по данным, полученным в лабораторной работе №1). Текст М-файла для расчета автокорреляционных функций и построения их графиков приведен в приложении Б.

Для каждой выборки определить интервал корреляции.

Используя результаты выполнения лабораторной работы №2, сделать вывод о стационарности процесса.

4. Осуществить прогноз значений случайного процесса:

• по последнему отсчету;

• по математическому ожиданию;

• с использованием корреляционной функции (статистический прогноз по одной точке).

и рассчитать средний квадрат ошибки для каждого случая.