2.2Построение корреляционной модели случайного процесса

Для построения корреляционной модели будем использовать алгоритм, приведенный на рисунке 3.

Р исунок 3 - Алгоритм расчета автокорреляционной функции

Так сложилось, что в иностранной литературе используется обратная терминология - называется ковариационной (covariance) функцией, а , вычисляемая как

именуется корреляционной функцией. Во избежании недоразумений об этом следует помнить при работе с зарубежными источниками. Впрочем, при анализе центрированных случайных процессов корреляционная и ковариационная функции совпадают.

В MATLAB для расчета имеется функция xcov, формат ипользования которой следующий:

[c,lags] = xcov(x,maxlags,'coeff')

здесь с – значения автокорреляционной функции для случайного процесса, значения которого сохранены в векторе x;

lags – значения лагов в интервале [-maxlags; maxlags];

'coeff' – необязательный параметр, указывающий на необходимость расчета нормированных значений автокорреляционной функции.

3Алгоритмы прогноза

Будем рассматривать алгоритмы прогноза линейные относительно предыдущих значений временного ряда (предыстории). Для гауссовских процессов этот класс алгоритмов оказывается наилучшим.

3.1Прогноз по последнему значению

Прогнозирование по последнему отсчету, называемое также ступенчатой экстраполяцией или экстраполяцией нулевого порядка, заключается в том, что в качестве предсказанного значения принимается значение X(t_o):

Предсказанное значение здесь не зависит от времени прогноза , предыстория представлена лишь одной точкой – последним значением X(t_o), вероятностные характеристики не учитываются вовсе.

Удобство и экономичность этого метода оплачиваются низкой точностью. Ошибка прогноза:

а ее средний квадрат если m_x=0

растет от 0 при  = 0, когда до при  = , когда R()=0.

Простота этого способа обеспечила ему большое распространение как в технике, так и в быту, когда, взглянув утром на термометр за окном, мы несколько часов спустя ориентируемся на ту же температуру.

3.2Прогноз по математическому ожиданию

Прогнозирование по математическому ожиданию заключается в том, что в качестве предсказанного значения принимается математическое ожидание процесса m_x:

Как и в предыдущем случае, предсказанное значение здесь не зависит от времени прогноза. Однако различие заключается в том, что хотя информации о предыстории не требуется никакой, нужны некоторые сведения о свойствах процесса – о его математическом ожидании. Алгоритм прогноза не требует выполнения никаких вычислительных операций.

Ошибка прогноза здесь имеет вид:

и представляет собой отклонение процесса от среднего в момент t+.

Средний квадрат ошибки не зависит от времени прогноза и равен дисперсии процесса:

Рисунок 4 - Зависимости прогноза

а – по математическому ожиданию; б – по последнему значению;

в – статистический прогноз по одной точке.

При малых временах прогноза  (рис.4) прогноз по последнему значению явно предпочтительней, однако после ^*,когда способ прогноза по математическому ожиданию дает большую точность. Наконец при квадрат ошибки по среднему вдвое меньше, чем по последнему отсчету.

Эти соотношения полностью соответствуют интуитивным представлениям о прогнозе. Так, предсказывая погоду на несколько ближайших часов, мы, как правило, ориентируемся на ее текущее состояние, совершенно игнорируя многолетние средние метеорологические данные, а пытаясь предвидеть весной погоду во время летних каникул, напротив, не смотрим на термометр.