Введение

Корреляционный анализ играет большую роль в теории случайных процессов и при их прогнозировании. Его смысл состоит в количественном измерении степени сходства различных процессов при помощи корреляционных функций.

Цель работы: Изучение методов корреляционного анализа и прогнозирования случайных процессов с использованием возможностей программного пакета MATLAB.

1Прогнозирование случайных процессов

Прогноз в системах автоматизации чаще всего сводиться к предсказанию значений случайных процессов- режимов работы устройств и аппаратов или воздействия на них со стороны окружающей среды. И осуществляется для выработки необходимых управляющих воздействий.

Методы статического прогноза дают возможность оценить будущие значения процесса по результатам наблюдений прошлых и текущих значений, используя при этом знание его вероятностных характеристик.

Пусть Х(t) – стационарный гауссовский процесс, наблюдавшийся некоторое время до момента t_о (рис.1). После t_o сведений о значениях процесса нет. Требуется предсказать — значение процесса в момент t_o+ через время , причем желательно сделать это с наибольшей точностью. Если, предсказав значение , дождаться момента (t_o+) и произвести наблюдение, его результат X(t_o+) — истинное значение процесса, как правило не совпадает с предсказанным . Их разность

представляет собой ошибку прогноза на время , произведенного в момент t_o.

Рисунок 1 – Прогнозирование случайного процесса

Очевидно, располагая прошлыми и текущими значениями процесса, необходимо иметь характеристику процесса, показывающую статистическую связь между его значениями, разделенными временным промежутком . Такой характеристикой является корреляционная функция.

Чтобы вычислить предсказанное значение, нужно уметь выбрать правило вычисления — алгоритм прогноза.

Наиболее распространенным критерием качества прогноза является средний квадрат ошибки:

Алгоритм прогноза должен быть выбран так чтобы был минимален.

Интуитивно ясно, что близкие значения можно предсказать с большей точностью, чем удаленные, и что поэтому с увеличением времени прогноза  средний квадрат ошибки будет расти.

2Корреляционная функция

Стационарный случайный процесс обладает вероятностными характеристиками, не зависящими от текущей переменной (времени, например). Его математическое ожидание и дисперсия постоянны. А его корреляционная функция , равная по определению корреляционному моменту между значений процесса и , не зависит от расположения значений t и , а лишь от расстояния между ними  = t' – t:

(1)

Временной сдвиг  между двумя моментами времени t и t^' называется лагом.

Корреляционная функция стационарного процесса x(t) есть функция одного аргумента. Ее называют иногда автокорреляционной функцией.

В практических расчетах от (1) переходят к дискретной форме выражения для автокорреляционной функции:

(2)

Здесь - центрированный процесс (с нулевым средним), - длина реализации.

2.1Свойства автокорреляционной функции

1. , равная по определению корреляционному моменту между сечениями процесса и , не зависят от положения сечения, а лишь от расстояния между ними.

2. есть функция чётная .

3.Значение автокорреляционной функции в нуле (при ) равно дисперсии процесса:

На практике обычно пользуются нормированной автокорреляционной функцией:

Значение нормированной автокорреляционной функции в нуле (при ) равно единице:

.

4. Варианты графического представления нормированной автокорреляционной функции показаны ни рисунке 2.

Р исунок 2 - Примеры графиков автокорреляционной функции

По графику автокорреляционной функции определяют один из важных для практических расчетов параметров случайных процессов - интервал корреляции , т.е. время, в течение которого между сечениями процесса сохраняется статистическая связь и корреляционный момент остается больше некоторого заданного уровня (чаще всего ).

Процесс, интервал корреляции которого был бы равен нулю, являлся бы “абсолютно случайным” – связей между его сочетаниями не было бы вовсе. Такой процесс, не осуществимый физически, является, однако, очень удобной моделью и носит название “белый шум”.