Билет 21.

Мы уже указывали одну характерную особенность свободных колебаний: такие колебания затухают. Этот эффект объясняется наличием трения; иногда его называют демпфированием. Звук колокола слышен в течение длительного времени после удара, так как в материале нет значительных сил трения, которые привели бы к рассеянию механической энергии за счет ее перехода в тепловую энергию, а рассеяние энергии за счет излучения звуковых волн происходит весьма медленно. С другой стороны, если раскачать кузов автомобиля, а затем отпустить его, то колебания быстро затухнут. Это объясняется действием специально установленных демпферов. Когда колеса автомобиля наезжают на препятствие, пружины подвески резко сжимаются. Если бы демпферы отсутствовали, то кузов раскачивался бы после этого в течение долгого времени, пока энергия постепенно бы не рассеялась. Как правило, в конструкциях с малым трением (таких, как колокол) следует ожидать более интенсивных колебаний, нежели в конструкциях с высоким уровнем рассеяния энергии.

Мы увидим, что для некоторых систем вопрос о наличии или отсутствии трения играет весьма существенную роль. Иногда инженерам приходится бороться с трением в конструкциях. Например, в некоторых приборах применяются упругие шарниры, в которых желательно добиться возможно меньшего рассеяния энергии. Одна из возможных конструкций такого шарнира изображена на рис. 19 (штрихпунктиром показана ось шарнира).

Рассеяние энергии имеет место в любой колебательной системе. Известно, например, что при вибрациях самолета часть энергии рассеивается в панелях обшивки за счет трения в заклепочных соединениях. Конструкции зданий должны обладать значительным демпфированием; это обстоятельство чрезвычайно важно с точки зрения поведения здания при землетрясении.

Иногда, если это особенно желательно, можно искусственно вводить трение; так, например, на автомобилях устанавливают демпферы колебаний. Прибор, стрелка которого безостановочно колеблется около положения, соответствующего истинному показанию (кривая а на рис. 20), доставляет нам больше, чем простое неудобство. Поэтому, чтобы стрелка пришла в это положение достаточно быстро (кривая б), вводится демпфирование. Чрезмерно сильное трение является столь же вредным, как и недостаточное трение, поскольку в этом случае стрелка перемещается в положение отсчета слишком медленно (кривая е).

Существует много способов искусственного введения трения в систему. Это может быть осуществлено, например, электрическим способом, однако возможны и чисто механические методы демпфирования. Вот некоторые из них:

1. Вязкое трение в жидкости. Простым примером является гидравлический демпфер, который состоит из поршня, перемещающегося в цилиндре; трение возникает при перетекании жидкости (часто вместо жидкости используется воздух) в тонком зазоре между поршнем и стенкой цилиндра. В некоторых других устройствах используются лопасти, движущиеся в масле или силиконовой жидкости.

2. Материалы с высоким уровнем рассеяния энергии. При ударе по "колоколу", изготовленному из специального сплава меди и марганца, вместо звона слышится глухой стук. В амортизирующих опорах часто используют резину; это отчасти связано с ее высокими демпфирующими характеристиками. Лопатки компрессоров газовых турбин иногда изготавливают из волокнистых полимерных материалов, обладающих значительным внутренним трением.

3. Демпфирующие покрытия панелей. Существуют такие вещества, что если нанести их на поверхность металлической панели, то при ударе по панели вместо характерного для металлов звука слышен глухой стук.

4. Сухое трение, возникающее при взаимном скольжении поверхностей в процессе вибрации. Этот способ используется, например, в некоторых компрессорах газовых турбин, где осуществлено шарнирное крепление лопаток к ротору. Кроме того, в некоторые пружины с целью демпфирования вставляются пучки металлической проволока.

5. Слоистые конструкции. Панели, состоящие из тонких металлических листов, разделенных тонким слоем вязкоупругого материала, обладают хорошими звукоизолирующими свойствами.

6. Пенопластовые или резиновые прокладки. Яйцо или электрическую лампочку, тщательно упакованные в подходящий материал, можно без всякого риска бросать с большой высоты на твердый пол.

Таким образом, существует два типа демпфирования: искусственно вводимое демпфирование и демпфирование, связанное с естественными силами трения. Если искусственно вводимое трение в некоторых случаях допускает разумную теоретическую оценку, то естественное трение, как правило, не поддается расчету и должно определяться экспериментально.

Выше мы вкратце рассмотрели вопрос о том, что такое демпфирование и как оно возникает.

Выясним теперь, какое влияние оказывает демпфирование на колебания системы, в частности, на частоты и формы свободных колебаний.

На рис. 21 изображен крутильный маятник. Свойства его сходны со свойствами массы, подвешенной на резиновом шнуре, в том отношении, что эта система имеет ярко выраженную низшую собственную форму колебаний, причем низшая собственная частота достаточно далека от ближайшей соседней собственной частоты. Тяжелый металлический диск А подвешен на тросе В так, что он может совершать крутильные колебания вокруг своей оси. Снизу к диску прикреплена "рубашка" С, которую можно частично погружать в кольцевую масляную ванну D, перемещая последнюю в вертикальном направлении. При поднятой ванне D демпфирование крутильных колебаний диска А значительно больше, чем при опущенной ванне.

Опустив ванну D, закрутим маятник и затем отпустим его. После этого возникнут медленно затухающие свободные колебания диска А, Будем отмечать звуковым сигналом окончание каждого цикла. Если в процессе этого эксперимента поднять ванну D, то мы заметим, что наступает резкое затухание колебаний, однако заметных изменений частоты сигналов не обнаруживается. Другими словами, введение интенсивного рассеяния энергии оказывает незначительное влияние на частоту.

Для исследования влияния демпфирования на собственные формы колебаний можно видоизменить опыт с висящей велосипедной цепью. Подвесим к изображенному на рис. 15 кулисному механизму вторую цепь на расстоянии 25-50 мм от первой. Эту вторую цепь мы опустим в глубокий стеклянный сосуд с жидким парафином, оставив первую цепь по-прежнему в воздухе. Через стеклянные стенки сосуда можно наблюдать две цепи, одна из которых демпфирована гораздо сильнее другой.

Изменяя скорость вращения мотора, приводящего в движение кулисный механизм, мы убеждаемся, что при  некоторой скорости вращения достигается максимальная интенсивность колебаний обеих цепей, хотя колебания цепи в воздухе происходят с большей амплитудой. Если теперь резко остановить мотор, то обе цепи будут совершать свободные колебания. При этом можно видеть, что формы обеих цепей одинаковы и не изменяются в процессе колебаний. (Частоты колебаний цепей также одинаковы, - к этому мы подготовлены после эксперимента с крутильным маятником. Разумеется, колебания цени, погруженной в сосуд с жидким парафином, вследствие сильного трения затухают гораздо быстрее.) Таким образом, мы приходим к выводу, что увеличение демпфирования не приводит к существенным изменениям частоты или формы свободных колебаний.

Приведенные результаты, относящиеся к роли демпфирования, носят общий характер; наши эксперименты служат лишь наглядными иллюстрационными примерами. На основании этих результатов возникают следующие интересные и весьма важные соображения. Мы показали, что увеличение трения не приводит к заметным изменениям частот и форм свободных колебаний. Мы не показали, правда, что эти изменения малы и в том случае, когда трение вводится в систему, первоначально лишенную трения. Тем не менее, можно предположить, что это действительно так, и теория подтверждает это предположение.

Поэтому исследование свободных колебаний вначале удобно проводить без учета трения. Рассматривается воображаемая система, в которой свободные колебания никогда не затухают. Однако собственные формы и соответствующие частоты свободных колебаний воображаемой системы можно принять за собственные формы и собственные частоты действительной системы (системы с трением).

Такой подход оказывает неоценимую помощь при практических расчетах колебаний * благодаря тому, что усложнения, связанные с учетом трения, уже не препятствуют определению собственных частот и форм. Расчетчик, вычисливший эти характеристики для воображаемой системы, знает, что они не должны значительно отличаться от тех частот и форм колебаний, которые наблюдались бы в реальной системе, где имеется трение.

* Читатель заметил, быть может, что этот подход представляет ценность и в логическом отношении, так как устраняет необходимость точного определения таких понятий, как "частота" и "форма" несинусоидальных (затухающих) колебаний. Это один из тех вопросов, которых мы тщательно избегали; теперь мы видим, что он представляет скорее теоретический, чем практический интерес.

Мы видели, что собственные формы колебаний системы образуют последовательность, причем каждая форма отличается от всех остальных. На языке математики говорят, что каждая собственная форма "ортогональна" ко всем остальным формам, причем условие ортогональности может быть записано в виде математического соотношения. Это условие играет важную роль в теоретических исследованиях, и поэтому весьма существенно, что условие ортогональности собственных форм колебаний системы без демпфирования оказывается гораздо проще соответствующего условия для собственных форм, наблюдаемых при наличии демпфирования.

Основываясь на идее использования воображаемой системы без трения, можно подвести итог полученных результатов. Частоты и формы свободных колебаний системы определяются значением и распределением масс и жесткостей; каждой собственной форме соответствует определенная собственная частота. В любой реальной системе можно возбудить свободные колебания с частотой и формой, близкими к найденным частоте и форме свободных колебаний воображаемой системы (небольшие различия этих характеристик связаны с наличием трения).