Билет 18.

Механические гармонические колебания.

Пусть материальная точка осуществляет прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х вокруг положения равновесия, которое принято за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t определяется уравнением:   (1)  Продифференцировав (1) получим, что скорость ν и ускорение а колеблющейся точки равны соответственно     (2)  Сила F=ma, которая действует на колеблющуюся материальную точку массой m, с учетом (1) и (2) будет равна    Значит, сила прямо пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (т.е. к положению равновесия).  Кинетическая энергия материальной точки, которая совершает прямолинейные гармонические колебания:   (3)  или  (4)  Потенциальная энергия материальной точки, которая совершает гармонические колебания под действием упругой силы F, будет равна  (5)  или   (6)  Сложив (3) и (5), найдем выражение для полной энергии:   (7)  Полная энергия всегда остается постоянной, так как при гармонических колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии, т.к. упругая сила консервативна.  Из формул (4) и (6) вытекает, что Т и P изменяются с частотой 2ω₀, т. е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания. На рис. 1 даны графики зависимости x, T и P от времени. Так как <sin²α> = <cos²α> = 1/2, то из формул (3), (5) и (7) вытекает, что <T> = <P> = E/2. 

Рис.1

Математический маятник, материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль дуги окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически М. м. можно считать груз, подвешенный на нерастяжимой нити, если размеры груза очень малы по сравнению с длиной нити, масса нити очень мала по сравнению с массой груза.

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

Энергия гармонических колебаний

        При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:

(Скорость тела v = ds/dt)

        Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:

где U - потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.

        Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем:

Сравнивая формулы

для кинетической и потенциальной энергии механического маятника, можно сделать следующие выводы:

1. Полная механическая энергия тела не изменяется при колебаниях:    2. Частота колебаний кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты колебаний маятника.  3. Колебания кинетической и потенциальной энергии сдвинуты друг относительно друга по фазе на  (на полпериода). Когда кинетическая энергия достигает максимума, потенциальная - минимума (нуля) и наоборот. Энергия при колебаниях постоянно перекачивается из потенциальной в кинетическую и обратно.

        В случае электрических колебаний энергия в конуре представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью. Вычислим обе составляющие.

        Сравнивая эти формулы, можно сделать следующие выводы:

1. Полная энергия в контуре остается неизменной: 

2. Частота колебаний энергий в 2 раза превосходит частоту колебаний заряда и тока в контуре.  3. Электрическая и магнитная энергии сдвинуты по фазе на полпериода друг относительно друга; происходит непрерывное перекачивание энергии из одной формы в другую и обратно.

        Поскольку в контуре происходят колебания электрической и магнитной энергий, электрический колебательный контур также называют электромагнитным.