Ответы на билеты за 2008 год (doc) / Билет25

Билет №25. Докажите сеществование вычислимой ф-ции, универсальной для класса .

Класс всех вычислимых ф-ций типа N->N обладает вычислимой универсальной ф-цией.

Доказательство: Мы построим универсальную ф-цию для класса всех Т-вычислимых ф-ций, которая в силу тезиса Чёрча может считаться универсальной для класса . При этом для вычисления значений этой универсальной ф-ции будет указан некий алгоритм неформального типа, что, опять же, в силу тезиса Чёрча означает судествование МТ, вычислующей эту универсальную ф-цию. Построение нужной универсальной ф-ции будет основано на нумерации множества всех программ Машин Тьюринга соответствующего типа. При этом мы будем отождествялть все программы изоморфных машин. Иными словами можно считать, что раасматриваются только машины Тьюринга с множеством состояний Q={q0,q1….qn} и алфавита A={Л, |, a1,a2,…,ak} символов, используемых на лента. Очевидно, что если зафиксировать числа n и k, хар величину множеств Q и A, то раздличнух программ с такими n и k имеется лишь конечное множество.

Возьмём некоторый единый способ выписывания всех этих программ для произвольных n и k (например лексико-графический).

Тепрь занёмеруем все пары натуральных чисел (n,k), например диагональным способом.

Мы занумеруем все прогр машин Тьюринга, если выпишем в начале все проги, соответствующие n=0 и k=0. Потом все проги, соответственно, n=0, k=1 и т.д.

Мы получим номер все прогр ждя любых n и k, облад след свойствами:

1. По номеру e (или l хз) можно алгоритмически восстановить программу, имеющую этот номер

2. Если наоборо – задана прога маш. Т, то можно опять же алгоритмически найти её номер в только что построенной нумерации.

Свяжем с этой нумерацией программу след. алгоритм вычисления значений ф-ции.

F(m,x): возми прогу с номером “m” и запусти соостветственно машину Тьюринга вычислять значение, связанное с ней ф-ции для значений аргумента x.

Посторенная ф-ция F(m,x):

1)вычислима

2) ф-ция F(m,x) является универсальной для множества N->N, а потому (в силу тезиса Чёрча) универсальной для класса . Тем самым ф-ция F(m,x) обладает всеми свойствами, которые фигурируют в теореме. ЧТД!