Визначення величини випадкової похибки

Під час обробки експериментальних даних обчислюють:

середнє арифметичне ; (6.1.)

де n – число вимірювань, х_і – результат окремого вимірювання;

• стандартне відхилення:

(6.2)

Приклад розрахунку стандартного відхилення:

Номер вимірювання	хі		(хі – )2
1	98,10	98,15	0,0025
2	98,15		0,0000
3	98,22		0,0049
4	98,08		0,0049
5	98,10		0,0025
6	98,24		0,0081
Число вимірювань n = 6	хі =588,89		(хі – )2=0,0229

• визначають стандартне відхилення середнього арифметичного:

; (6.3)

Наприклад,

• визначають ймовірну випадкову похибку:

_(6.4)

де t-критерій Стьюдента або ймовірність того, що відхилення окремого вимірювання не перевищує деякої заданої величини, t знаходять за таблицею 6.1.

Таблиця 6.1 – Значення t-критерію при різних значеннях надійності  і

числа визначень n

f = n – 1	
	0.5	0,7	0,9	0,95	0,99	0,999
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1,00 0,82 0,76 0,74 0,73 0,72 0,71 0,71 0,70 0,69	1,96 1,34 1,25 1,19 1,16 1,13 1,12 1,11 1,10 1,09	6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81	12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23	63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,35 3,25 3,17	636,62 31,60 12,94 8,61 6,86 5,60 5,40 5,04 4,78 4,59

Ймовірна випадкова похибка визначає надійний інтервал, на якому перебуває величина, яку слід визначити, х = . Користуючись даними таблиці 6.1, знаходимо, що в наведеному вище прикладі при вірогідності 0,95 істинне значення вимірюваної величини знаходиться у межах:

98,15 ±(0,0276·2,57) = 98,15 ± 0,071.

Часто виникає необхідність порівняти два методи аналізу однієї і тієї ж речовини, щоб встановити який метод більш достовірний. При цьому визначають значимість різних методів, для чого попередньо проводять математичну обробку результатів аналізу за обома методами та знаходять величини середніх арифметичних та , стандартне відхилення середнього арифметичного та . Потім розраховують експериментальний t-критерій за формулою:

Отриманий t-критерій порівнюють з його табличним значенням при відповідному числі ступенів свободи і ймовірності 0,95. Якщо розраховане значення t-критерію менше табличного, то різниця між методами аналізу незначна і методи адекватні один одному. Якщо t_експ. t_табл., то методи адекватними визнати неможна.

Приклад розрахунку t-критерію:

При проведенні аналізу речовини двома методами були отримані наступні результати: = 98,1; = 0,08; n_x = 6; = 97,5; = 0,20; n_у = 6.

Визначаємо експериментальне значення t-критерію:

Табличне значення t_0,95 при f = 6+6–2=10 дорівнює 2,23. Оскільки 6,9  2,23 та t_експ. t_табл, то методи неадекватні і значно відрізняються один від одного.

Методами математичної обробки також встановлюють грубі помилки – промахи – результати вимірів, які значно відхиляються від інших. Промахи визначають, використовуючи Q-критерій (таблиця 6.2). Для обробки за Q-критерієм результати вимірювань розташовують у зростаючий ряд і визначають Q_експ. за формулою:

де – х_пр.– результат, який можна вважати промахом;

х_ – результат, найближчий до промаху;

х_мак.та х_мін. – максимальне та мінімальне значення в ряду.

Отримане значення Q_експ. порівнюють з табличним (таблиця 6.2) при даному числі дослідів n. Якщо Q_експ. Q_табл., то має місце промах. Промахи звичайно відкидають.

Таблиця 6.2 – Значення Q-критерію

Q-критерій	n	3	4	5	6	7	8	9	10
	Q0,95	0,94	0,77	0,64	0,56	0,51	0,48	0,44	0,42
	Q0,99	0,99	0,89	0,86	0,70	0,64	0,58	0,54	0,53

Крім Q-критерію для визначення промахів використовують також 3S-критерій, за яким відхилення одиничного вимірювання від на повинно перевищувати 3S, інакше має місце промах.

Приклад розрахунку Q-критерію:

При аналізі зразку було отримано п’ять результатів: 10,2; 10,3; 10,1; 10,9; 10,3%. За припущенням 10,9% – промах. Розташовуємо результати у порядку зростання: 10,1; 10,2; 10,3; 10,3;10,9. За формулою 6.6 розраховуємо Q_експ.:

Отримане значення Q_експ. порівнюють з Q_табл. Q_табл. при n=5 та ймовірності 0,95 дорівнює 0,64. Оскільки 0,65  0,64 і Q_експ. Q_табл., то має місце промах.

Часто виникає необхідність за 2-3 результатами визначити кількість паралельних аналізів для досягнення необхідної точності.

Приклад визначення необхідної кількості паралельних вимірів:

При аналізі речовини отримані результати 15,6 та 15.0%. Необхідно розрахувати кількість паралельних аналізів для отримання похибки не більше 5%, що забезпечує необхідну точність аналізу. Визначаємо величину випадкової похибки результату аналізу для двох значень (n=2; f = 2 – 1 = 1):

Відхилення дорівнюють 15,6 –15,3 = 0,3 та 15,0 – 15,3 = -0,3;

Визначаємо ймовірну випадкову похибку (при =0,95; f=1):

Е можна представити у відсотках: Е,% = Е100%/ = 3,78100%/15,3=24,7%.

Для досягнення інтервалу довіри у 5% необхідно змінити t-критерій, який задається числом ступенів свободи f. Оскільки отриманий результат 24,7% приблизно у 5 разів перевищує необхідні 5%, то потрібна величина t-критерію повинна дорівнювати або бути менша наступного табличного значення: t_табл.= 12,7/5=2,54. За таблицею 6.1 визначаємо, що найближчий t-критерій має значення t_0,95 = 2,45 при f=6. Значить, необхідне число паралельних аналізів можна знайти з f = n–1, звідки n = f+1=6+1=7. У цьому випадку:

_{або у відсотках:}

_{Е,% = Е}100%/ = 0,73100%/15,3=4,77%.