Ответы на билеты за 2008 год (doc) / Билет16

Билет№16. Приведите пример нерегулярного множества слов. Покажите, что существование таких множеств следует из «мощностных соображений».

Множество слов, которое не распознаётся никаким конечным автоматом. X={0,1}. Таково, например множество всех слов в алфавите {0,1} в каждом из которых число нулей равно числу едениц.

Предположим противно, т.е. что это множество распознаётся нек. автоматом с помошью соответствующего множества Qe заключ состояний. Предположим, что каждое из сост нашего автомата достижимо из начального состояний q0 под действием нек. слова.

Рассмотрим поочерёдно все состояния из множества . В каждое из них из сост q0 ведёт соответствующее слово . Но множество Е таково, что , такое что (слово возмещает нехватку тех символов, которых в слове меньше).

Наш автомат под действием слова (с волной) переходит из сост в состояние . Возьмём длины || таких слов, и пусть L=max|| и построим слово O^(L+1).

Под действием этого слова автомат переходит в одно и из состояний множества . Из этого состояния в можно попасть под действием некоторого слова, длиной <=L. Но очевидно, что никакое слово токой длины не компенсирует дифицит единиц в слове O^(L+1). Полученное противоречие означает, что наше множество Е не распознаётся рассмотренным, а потому никакмим конечным автоматом.