Ответы на билеты за 2008 год (doc) / Билет17

Билет№17. Дайте определение эквивалентных множеств и счётного множества; приведите примеры. Докажите 2 теоремы, показывающие, что счётные множества –“самые мальнькие среди бескнечных”.

Определение: два множества (A и B) называются эквивалентными (или равномощными), если существует взаимнооднозначное соответствие между А и B.

A~B; f:A->B

Примеры:

1. {1,2,3,4}=A, B={a,b,c,d}

2. 2N={2,4,6…}, 2N+1={1,3,5…}

3. N={1,2,3…}, 2N={2,4,6…}

В отличии от конечных множеств эквивал могут содержать некоторое множество и его собственное подмножество (типа последнего примера)

Теорема 1: всякое беск множество содержит счётное подмножество (множество называется бесконечным, если оно не эквивалентно никакому конечному множеству.

Док: A-беск множество, A<>=> , т.к. А – беск, то оно содержит элементы, отличные от a1.

и т.д.

Множество B= и является счётным (сверху написать множ. Натуральных чисел)

Вообще счётное множество удобно представить себе, как множество, все элементы которого занумерованы нат числами, причём всё нат числа используются в качестве номеров, и второе: каждому эл. данного множества присвоен единичный номер.

Теорема №2: всякое бесконечное подмножество счётного множества само счётно:

, А-счётно, И – беск, след счётно множество В.

Занумеруем все элементы данного А и выпишем их в естественном порядке (возраст. Номеров):

(a(1) – под а пишется единица) a1(1) a2 a3 a4(2) a5 a6 a7(3) a8 a9(4) и т.д. Вычеркнем все элементы, не входящие в В. Нумеруем ост. Элементы в естественном порядке (в кот они фиг в этом списке) убедимся в счётности множества В.