Ответы на билеты за 2008 год (doc) / Билет12

Билет№12. Докажите теорема Харрисона Форда-Фалкерсона.

Величина максимального потока в сети равна пропускной способности её минимального разреза.

Доказательство: мы уже показали, что величина этого потока меньше или равна пропускной способности миним. Разреза. Остаётся для данной сети построиться поток и разрез, для которых выполнялось бы соответствующее равенство. Но такую пару (поток+разре) мы получали, фактически, на заключительном шаге работы алгоритма Ф-Ф. Именно объявим одной из частей соответствующего разбиения вершин все помеченные на этом шаге вершины, отнеся к другой части все остальные.

Метка никоим образом не может быть донесена ни до одной из непомеченных вершин.

Значит, для дуг, пересек линию разреза от S к F

Выполняется равенство . По тем же причинам для дуг противоположенного направления, пересек линию разреза имеем . Поэтому пропускная способность этого разреза равна величиние построенного потока. И теорема доказана.