Элементарные задачи

Задача. В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90градусов, сторона АС равна 3 см, а сторона ВС больше стороны АС на 2 см. Найдите tg угла А Решение. tg A = BC /AC BC = AC + 2 AC = 3 tg A = 5 / 3

Биссектриса в прямоугольном треугольнике

Задача. Докажите что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника при пересечении образуют угол 45. Решение. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, угол С в данном случае прямой, то сумма двух оставшихся углов составляет 180 - 90 = 90 градусов. Поскольку BM и AN - биссектрисы, а сумма их градусных мер составляет 90 градусов, то сумма половин этих углов ( KAB и KBA) составляет 90 / 2 = 45 градусов. Таким образом, величина угла AKB в треугольнике AKB составляет 180 - 45 = 135 градусов. Соответственно, величина угла MKA равна 180 -135 = 45 градусов. То есть биссектрисы прямоугольного треугольника образуют угол 45 градусов. Таким образом, при пересечении биссектрисы прямоугольного треугольника образуют углы 45 и 135 градусов.

Применение теоремы Пифагора

Задача. На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии BE нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым? Решение. Составим схему задачи. Поскольку ели растут вертикально, то AEB и DEC - прямоугольные треугольники. Откуда AB² + AE² = BE² CD² + DE² = CE² Поскольку птицы должны быть в равных условиях, то BE = CE, откуда AB² + AE² = CD² + DE² Из условия задачи мы знаем, что AB = 4, а CD = 6 (или наоборот, что не имеет значения), тогда AE² + 4² = DE² + 6² AE² + 16 = DE² + 36 Поскольку, по условию задачи AE + DE = 10, то AE = 10 - DE тогда ( 10 - DE )² + 16 = DE² + 36 100 - 20DE + DE² + 16 = DE² + 36 80 = 20DE DE = 4 Откуда AE = 10 - 4 = 6 Исходя из этого, поскольку AB² + AE² = BE² 4² + 6² = BE² BE² = 52 BE = 2√13 Таким образом, расстояние между воронами 2√13 м Ответ: BE = 2√13 м

Высота в прямоугольном треугольнике

Задача. В треугольнике ABC угол С - прямой. Перпендикуляр CD равен 6 см. AD на 2 см. больше BD. Площадь треугольника ABC равна 180 см в кв. Найти чему равны AC и BС.   Решение. Пусть BD = x, тогда AD = x + 2 Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADC и BDC . Поскольку CD - высота, то оба эти треугольника также прямоугольные. Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то площадь треугольника ABC будет равна: CD * AD / 2 + CD * BD / 2 = 180 Подставим известные значения и обозначения переменной х. 6 ( x + 2 ) / 2 + 6x / 2 = 180 3 ( x + 2 ) + 3x = 180 6x + 6 = 180 6x = 174 x = 29 Таким образом, BD = 29, AD = BD + 2 = 29 + 2 = 31 По теореме Пифагора вычислим длину AC и BC. BC² = CD² + BD² AC² = CD² + AD² откуда BC² = 29² + 6² AC² = 31² + 6² AB = √877 AC = √997 Ответ: √877 и  √997

Высота в прямоугольном треугольнике (Часть 2)

Примечание. См. также формулы площади треугольника.

Задача

Площадь прямоугольного треугольника равна S, а один из острых углов равен α. Найти высоту, опущенную на гипотенузу.

Решение.

Площадь треугольника (S) будет равна: S = 1/2 CD * AB

Пусть угол А равен α. Тогда AC = AB cos α (По определению косинуса   cos α = AC /AB)

Рассмотрим треугольник ADC. Поскольку CD - высота, опущенная на гипотенузу, то угол CDA - прямой. Таким образом   CD = AC sin α

поскольку   AC = AB cos α, то   CD = AB cos α sin α откуда AB = CD / ( cos α sin α )

Вернемся к изначальной формуле площади прямоугольного треугольника и подставим в нее найденные значения. S = 1/2 CD * AB S = 1/2 CD *  CD / ( cos α sin α ) S = 1/2 CD² / ( cos α sin α )

Поскольку все значения, кроме высоты CD треугольника нам известны, выразим высоту из формулы площади прямоугольного треугольника. CD²  = 2S  cos α sin α или CD = √ ( 2S  cos α sin α )