Подобие треугольников. Использование в задачах

Примечание. Это вторая часть урока с задачами по геометрии о подобии треугольников. Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача

В треугольник ABC вписан квадрат KLMN. При этом точка M лежит на стороне AC, точка  N лежит на стороне AC, точка K лежит на стороне AB, точка L лежит на стороне BC. Найти сторону квадрата, если длина стороны AC треугольника равна a, высота BD, опущенная из вершины B треугольника равна h. Решение. Обозначим искомую сторону квадарата как x. Обозначим точку, в которой высота треугольника BD пересекает сторону вписанного квадрата как E. Тогда BD =  BE + ED Поскольку ED будет равно стороне квадрата, то h = BE + x BE = h - x Полученные треугольники ABC и BKL являются подобными, таким образом, все их геометрические размеры относятся друг к другу с неким коэффициентом подобия. Отношение оснований треугольников равно отношению оснований их высот. То есть: KL / AC = BE / BD KL - это сторона вписанного квадрата, значит x / a = ( h - x ) / h xh = a ( h - x ) xh = ah - ax xh + ax = ah x ( h + a ) = ah x = ah / ( h + a ) Ответ: ah / ( h + a )

Задача

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, такая, что BD:BA=1:3. Плоскость, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D₁.  Докажите, что треугольник DBD₁ подобен треугольнику ABC. Решение. Для доказательства воспользуемся теоремой Фалеса: "Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки". Поскольку плоскость, проходящая через точку D, которая пересекает отрезок BC в точке D₁ параллельна прямой AC, то прямая DD₁ принадлежащая этой плоскости, также параллельна прямой AC. Согласно теореме Фалеса, "Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки". То есть: BD / AD = BD₁ / D₁C Согласно второму признаку подобия треугольников "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны". В данном случае угол В у треугольников DBD₁ и треугольника ABC является общим. Таким образом, треугольники подобны.

Прямоугольный треугольник Прямоугольный треугольник

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Задача. Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого катета и меньше гипотенузы на 1 см. Найти площадь треугольника. Решение. Обозначим катет одного треугольника через х, тогда второй катет будет равен х+1, а гипотенуза х+2. Тогда по теореме Пифагора: x² + ( x + 1 )² = ( x + 2 )² x² + ( x + 1 )² = ( x + 2 )² x² + x² + 2x + 1 = x² + 4x +4 2x² + 2x +1 - x² - 4x -4 = 0 x² - 2x - 3 = 0 D = 16 x₁ = 3 x₂ = -1 (не подходит по условию задачи) Площадь прямоугольного треугольника равна S = 1/2 ab = 1/2 * 3 * 4 = 6 см² . Площадь треугольника также можно было найти по формуле Герона S = 1/4 sqrt( ( a + b + c ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( b + c - a ) ) S = 1/4 sqrt( ( 3 + 4 + 5 ) ( 3 + 4 - 5 ) ( 3 - 4 + 5 ) ( 4 + 5 - 3 ) ) S = 1/4 sqrt( 12 * 2 * 4 * 6 ) S = 1/4 √ 576 = 6 см² . Ответ: 6 см² Задача. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны корень из 52 и корень из 73. Найти площадь прямоугольного треугольника. Решение. Каждая из медиан катетов образует с прямым углом прямоугольный треугольник. Обозначим длину половины каждого катета как a и b. Тогда, по теореме Пифагора получим: Откуда a² = 73 - 4b² подставим выражение во второе уравнение b² + 4( 73 - 4b² ) = 52 b² + 292 - 16b² = 52 15b² = 240 b² = 16 b = 4 Соответственно, а² = 73 - 4 * 16 = 9, а = 3 Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны (2a и 2b) 8 и 6 см. Откуда площадь прямоугольного треугольника равна S = 1/2 8*6 = 24 см² . Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см² .