Нахождение площади через медианы

Задача. В треугольнике ABC медианы CD и BE пересекаются в точке К. Найдите площадь четырехугольника ADKE, если BC = 20 см, AC = 12 см, а угол ACB равен 135 градусам. Решение. Кроме медиан, указанных в условии, проведем медиану к третьей стороне треугольника. Воспользуемся следующими свойствами медианы треугольника:

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Таким образом, если площади указанных треугольников равны, то площадь искомого четырехугольника будет равна двум из шести получившихся треугольников, а значит 1/3 площади всего треугольника. Площадь треугольника найдем по формуле S = ab sin γ S = 20 *12 * sin 135 Значение синуса 135 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций. S = 240 * √2 / 2 = 120√2 Откуда площадь искомого четырехугольника равна ( 120√2  ) / 3 = 40√2 Ответ: 40√2

Угол между высотой и медианой треугольника

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача

Найдіть кут між медіаною і висотою прямокутного трикутника , які проведені з вершини прямого кута , якщо гострий кут дорівнює 20 градусів

Найдите угол между высотой и медианой прямоугольного треугольника, которые проведены из вершины прямого угла, если острый угол равен 20 градусов

. Решение. Сначала достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.

Далее, учитываем следующее:

• Сумма углов треугольника равна 180 градусам

• Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам

• Диагонали прямоугольника равны

Поскольку угол CAB = 20°, то угол ABC = 180 - 90 - 20 = 70°

Треугольник COA - равнобедренный, так как его стороны - это половины диагоналей прямоугольника. Откуда ∠OCA = ∠OAC = 20º

Поскольку треугольник BKC - прямоугольный, то угол BCK = 180 - 90 - 70 = 20°

Поскольку угол BCA - прямой, то его градусная мера равна сумме градусных мер углов BCK, KCO и OCA. Откуда: 20° + 20° + ∠KCO = 90° ∠KCO = 50°  

Ответ: Угол между медианой и биссектрисой заданного прямоугольного треугольника равен 50 градусов.

Медианы прямоугольного треугольника

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача. Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно,  3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Обозначим длины катетов AC и BC как 2x и 2y. Тогда, по теореме Пифагора   AC² + CD² = AD²

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то 4x² + y² = 9 

Одновременно, EC² + BC²  = BE²

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то x² + 4y²  = 16

Решим полученную систему уравнений. Сложим оба уравнения. 5x² + 5y² = 25   5( x² + y² ) = 25 x² + y² = 5 

По теореме Пифагора   AC² + BC²  = AB² то есть 4x² + 4y² = AB²   4 ( x² + y² ) = AB²   подставим значения   x² + y² = 5 AB² = 20 AB = √20 = 2√5  

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5     

Подобие треугольников

В этой главе представлены решения задач по геометрии на тему "подобие треугольников".

Треугольники имеют три признака подобия.

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Комментарий. Соответственно, поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то и про третий угол каждого из этих треугольников можно сказать то же самое.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, тогда эти треугольники подобны.

Комментарий. Вспоминаем первый признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. В данном случае, если углы равны, а стороны пропорциональны - то треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны

Свойства подобных треугольников

Площади подобных треугольников соотносятся как квадрат соотношений их подобных сторон.

Простейшие задачи на подобие треугольников

Задача. Даны подобные треугольники: 1)АВС и KLM  АС = 17 см, АВ = 9 см, ВС = 10 см, ML = 7,5 см, LK = 6,75 см, MK = 12,75 см 2)АВС и МКС АВ = 4 см, АС = 6см, ВС = 5см, МС = 3 см, СК = 2,5 см, МК = 2 см Составьте отношение их сходственных сторон.Определите коэффициент подобия.

Решение. Поскольку треугольники по условию задачи подобны, то для нахождения сходственных сторон выстроим их по возрастанию, так как у подобного треугольника стороны также будут иметь соответствующие размеры, умноженные на коэффициент подобия

1)  АВ=9 см;  ВС=10 см;   АС=17 см; и   LK=6,75 см;   ML=7,5 см;   MK=12,75 см 2)  АВ = 4 см;  ВС = 5см;  АС = 6см; и  МК = 2 см;  СК = 2,5 см; МС = 3 см

Теперь вычислим соотношение двух наименьших сторон, оно будет точно таким же, как двух наибольших или средних по величине сторон. Это и есть коэффициент подобия данных треугольников.

1) AB / LK = 9 / 6,75 = 1 1/3  Внимание! Переведите десятичные дроби в простые, чтобы получить верный коэффициент подобия. AB/ LK = BC / ML  = AC / MK = 1 1/3 2) AB / MK = 4 / 2 = 2, AB / MK = BC / CK = AC / MC = 2