Площадь боковой поверхности конуса
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, конус). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Задача. Площадь основания конуса 36π см2 , а его образующая 10 см. Вычислить боковую поверхность конуса. Решение. Зная площадь основания, найдем его радиус. S = πR2 36π = πR2 R2 = 36 R = 6 Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле: S = πRl где R - радиус основания l - длина образующей откуда S = π * 6 * 10 = 60π Ответ: 60π см2 .
Объем конуса
Примечание. Это урок с решениями
задач по геометрии (раздел стереометрия,
конус). Если Вам необходимо решить задачу
по геометрии, которой здесь нет - пишите
об этом в форуме.
Задача.
В цилиндр вписаны шар и конус, причём
высота цилиндра равна диаметру его
основания.
Найти отношение объёма
конуса к объёму шара, и к объёму цилиндра.
Решение.
Для решения задачи
воспользуемся формулами нахождения
объема шара, цилиндра и конуса:
Учтем,
что по условию задачи высота цилиндра,
а, соответственно и конуса, равны диаметру
шара, что следует из построения согласно
условию. То есть шар касается обеих
оснований цилиндра в их центре. Из чего
запишем:
h = 2R
Откуда
Vцилиндра
= πR2h = πR22R = 2πR3
Vшара = 4/3πR3
Vконуса = 1/3πR2h
= 1/3πR22R = 2/3πR3
Таким
образом, соотношение объема конуса к
объему шара будет равно:
Vконуса /
Vшара = 2/3πR3 / 4/3πR3 = 2/3 / 4/3
= 1/2
А соотношение объема конуса
к объему цилиндра будет равно:
Vконуса
/ Vшара = 2/3πR3 / 2πR3 = 2/3 / 2 = 1/3
Ответ: 1/2 и 1/3
Задача.
Объем конуса равен 27. На высоте конуса
лежит точка и делит её в отношении 2:1
считая от вершины. Через точку проведено
сечение, которое является основанием
меньшего конуса с той же вершиной.
Найдите объем меньшего конуса.
Решение.
Обратим внимание, что треугольники
AOB и COD - подобны. Из условия задачи
определим коэффициент подобия как 2:3.
Объем
конуса находится по формуле, указанной
в предыдущей задаче.
Vконуса = 1/3πR2h
= 27 (по условию)
Тогда объем малого
конуса будет равен
Vмал.конуса =
1/3π(2/3R)2(2/3h)
то есть
Vмал.конуса
= 1/3π 4/9 R2 2/3 h
Vмал.конуса = 8/27
*1/3π R2 h
а так как мы знаем, что
1/3π R2 h= 27 (см. выше), то
Vмал.конуса
= 8/27 * 27 = 8
Ответ: объем малого
конуса равен 8
Объем конуса (2)
Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел стереометрия, конус). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.
Задача
Образующая конуса равна 12 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти объем конуса.
Решение. Объем конуса найдем по формуле:
Поскольку образующая вместе в высотой конуса и радиусом его основания образуют прямоугольный треугольник, то необходимые размеры конуса вычислим исходя из того, что нам известен угол этого прямоугольного треугольника между основанием и образующей конуса.
h / OB = sin 30 h = OB sin 30 h = 12 sin 30 По таблице значений тригонометрических функций найдем значение синуса 30 градусов. h = 12 * 1/2 h = 6
R / OB = cos 30 R = OB cos 30 R = 12 cos 30 По таблице значений тригонометрических функций найдем значение косинуса 30 градусов. R = 12 √3/2 R = 6√3
Откуда объем конуса будет равен: V = 1/3π ( 6√3 )2 * 6 V = 216π
Ответ: объем конуса равен 216π см2 .