Диагональ цилиндра

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Задача. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.

Решение. Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то CD = AC cos 30°

Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ∠ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций.

CD = 8 * √3/2 = 4√3

Аналогично, AD = AC sin 30° AD = 8 * 1/2 = 4

Откуда радиус основания цилиндра равен 4/2 = 2 см

Площадь основания цилиндра, соответственно, равна S₁ = πR² = 4π

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть: S₂ = 2πRh = 2π * 2 * 4√3  = 16π√3

Общая площадь поверхности цилиндра равна: S₁ + S₂ =   4π +  16π√3   

Ответ:  4π +  16π√3

Площадь поверхности цилиндра

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о площади поверхности цилиндра. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача. Какой из цилиндров с обьемом 128π см³ имеет наименьшую полную поверхность?

Решение. Формула нахождения объема цилиндра V = πr² h

Поскольку объем цилиндра нам известен, то πr²  h = 128π откуда r²  h = 128 h = 128 /  r² 

Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом:    S = 2πr²  + 2πrh  где πr² - площадь основания цилиндра (площадь круга) 2πr - длина окружности основания

Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу S = 2πr²  + 2πrh  S =  2πr²  + 2πr  * 128 /  r²    S =  2πr²  + 256π / r

Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию. f(r) =  2πr²  + 256π / r Формулы дифференцирования можно посмотреть в таблице производных. Получим: f '(r) = 4πr - 256π /  r² 

Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем  f '(r) к нулю и решим уравнение.  4πr - 256π /  r²  = 0 получим  4πr ( 1 - 64/r ) = 0 откуда  4πr = 0 или  1 - 64/r = 0 

первый найденный корень уравнения  r = 0 отбрасываем,  1 - 64/r = 0 r = 64

Откуда  h = 128 /  r²  h = 128 / 4096 h = 0.03125 или 1/32

Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см

Конус Конус

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача

Объем цилиндра равен 48 см³. Найти объем конуса, радиус основания которого равна радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра. Решение. Формула объема цилиндра V = hпr² А формула объема вписанного конуса (V = 1/3hпr² ) для "нашего" случая, учитывая, что высота конуса равна половине высоты цилиндра, будет равна: V = 1/3 h/2 пr² но, по условию задачи, объем цилиндра составляет 48 , то есть hпr² = 48 . Значит подставим в формулу объема конуса вместо hпr² известное нам значение. Получаем: V = 1/3 * 48 / 2 V = 8 см³. Ответ: 8 см³.

Задача

Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса. Решение. Примечание. Для обозначения символа извлечения квадратного корня в данной задаче используется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках - подкоренное выражение. Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S₁ = пrl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей S₂ = пr² - площадь круга, то есть основания конуса Таким образом, площадь поверхности конуса составит S = S₁ + S₂ Поскольку S₁ = пrl , найдем образующую. Поскольку Высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то l² = h² + r² S₁ = пr * sqrt( h² + r² ) Тогда S₁ + S₂ = пr( h² + r² ) + пr² = п * 12 * sqrt( 25 + 144 ) + 144 * п =  п * 12 * 13 + 144 * п = 156п + 144п = 300п ≈ 942,48 Ответ: 300п ≈ 942,48 см² .