Цилиндр и его сечения

Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел цилиндр). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√". Задача. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? Решение. Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = BC. BK² = BM² + MK² MK² = BK² - BM² MK² = 17² - 15² MK² = 64 MK = 8 Таким образом, MK = BC = 8 см Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость. (это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи). AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра. Найдем величины некоторых отрезков. AD = 2R = 2 * 5 = 10 см OC = OD = R = 5 см В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом, AN = DP = ( 10 -8 ) / 2 = 1 см тогда OP = OD -DP = 5 - 1 = 4 см Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда CP² + OP² = OC² CP² = OC² - OP² CP² = 5² - 4² CP² = 25 - 16 CP = 3 Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.

Цилиндр и его сечения (часть 2)

Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел цилиндр). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√". Задача. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4√2. Вычислить объем цилиндра. Решение. Поскольку диагональ сечения цилиндра - квадрат, то обозначим его сторону как a. a² + a² = (4√2)² 2a² = 32 a² = 16 a = 4 Объем цилиндра найдем по формуле:  V = πd² / 4 * h откуда V = π4² / 4 * 4 V = 16π Ответ: Объем цилиндра равен 16π Задача. Куб с ребром длиной а вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. Решение. Проведем плоскость через основание цилиндра. Диагональ куба является одновременно диаметром цилиндра. Зная сторону куба, определяем длину диагонали AC квадрата ABCD как CD² + AD²= AC² a² + a² = AC² 2a² = AC AC = a√2 Проведем плоскость через ось цилиндра по диагонали AC. Высота сечения равна длине ребра куба и по условиям задачи рана а, а ширина сечения равна a√2. Таким образом, площадь сечения равна: S = a * a√2 = a²√2 Ответ: a²√2