Площадь сферы

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о сфере). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача

В сферу вписан конус, образующая которого равна l, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы. Решение. Площадь сферы найдем по формуле: S = 4πr² Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам, то треугольник - равносторонний (сумма углов треугольника - 180 градусов, значит остальные углы ( 180-60 ) / 2 = 60 , то есть все углы равны ). Откуда радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна l . То есть R = √3/3 l Таким образом площадь сферы S = 4π(√3/3 l)² S = 4/3πl²

Ответ: площадь сферы равна 4/3πl².

Задача

Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость? 

Решение. Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы. Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус: L = 2πR Откуда R =  L / 2π R = 46 / 2π R = 23 /  π

Откуда площадь основания равна S =  πR²   S = π (23/π) ² S = 529 / π

Площадь сферы найдем по формуле:   S = 4πr²

Соответственно площадь полусферы S = 4πr² / 2 S =  2π  (23/π)  ² S = 1058 / π

Общая площадь поверхности фигуры равна: 529 / π + 1058 / π  = 1587 / π   Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах, то есть в одном метре 10 000 квадратных сантиметров)   1587 / π  * 300 / 10 000 = 47,61 / π граммов ≈ 15,15 г 

Цилиндр Цилиндр

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Задача

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 45 градусов. Найти обьём цилиндра. Решение. Поскольку основание осевого сечения образует с высотой цилиндра, принадлежащей сечению, прямой угол, то треугольник, который образован диагональю осевого сечения, высотой цилиндра и его диаметром - прямоугольный. Исходя из этого, угол между диагональю и высотой также равен 45 градусов ( 180 - 90 - 45 ). Таким образом, треугольник является равнобедренным, а, следовательно, высота цилиндра равна его диаметру. Применив теорему Пифагора, найдем их. d² + d² = 12² 2d² = 144 d² = 72 Теперь применим формулу объема цилиндра V = пd² / 4 h V = 72п / 4 * sqrt( 72 ) V = 18п * sqrt( 72 ) Ответ: 18п * sqrt( 72 )

Задача

В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60 градусам. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45 градусов. Найдите объем цилиндра. Решение. Объем цилиндра найдем по формуле: V = пR²h где: R - радиус основания прямого цилиндра,  h - высота. Найдем основание цилиндра. 1-й способ. Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле: R = a / 2 sin α где: a - сторона треугольника α - угол, противолежащий стороне а. Противолежащий угол найдем следующим образом. Поскольку треугольник прямоугольный, то противолежащий катету угол будет равен 180-90-60 = 30 градусов. Таким образом, радиус описанной окружности (он же радиус цилиндра) равен: R = 2a / 2 sin 30 = 2a Найдем основание цилиндра. 2-й способ У прямоугольного треугольника гипотенуза одновременно является диаметром описанной окружности. Половина гипотенузы будет равна ее радиусу. Таким образом найдем гипотенузу для прямоугольного треугольника, зная угол и его катет через тригонометрическую функцию: 2R = 2a / cos 60 = 2a / 0.5 = 4a R = 2a Найдем высоту цилиндра. Диаметр описанной окружности образует с диагональю призмы прямоугольный треугольник, один катет которого является диаметром описанной окружности, второй - высотой цилиндра и призмы, а гипотенуза является диагональю большей стороны призмы и одновременно цилиндра. Поскольку угол диагонали с основанием составляет 45 градусов, то второй угол равен 180 - 45 - 90 = 45 градусов. Исходя из того, что прямоугольный треугольник равнобедренный, то высота цилиндра и призмы равна диаметру окружности. Таким образом: V = пR²h V = п*4a²*4a V = п16a³. Ответ: п16a³.