Неправильная пирамида с прямоугольником в основании

Примечание. Текст задачи взят с форума.

Задача. Из точки к плоскости прямоугольника со сторонами 9 см и 12 см, проведен перпендикуляр,основанием которого является одна из вершин прямоугольника.Расстояние от противоположной вершины прямоугольника до этой точки равно 39 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости прямоугольника.

Решение.

Пусть перпендикуляр к плоскости прямоугольника проведен из вершины В. Найдем длину диагонали прямоугольника BD.

BD является гипотенузой прямоугольного треугольника BCD, поэтому

BD² = BC² + CD² BD²  = 9² + 12²  BD²  = 225  BD = 15

Точка О образует с противоположной вершиной прямоугольника также прямоугольный треугольник. Откуда высота перпендикуляра ОВ равна:

OD² = OB² + BD² OB² = OD² - BD² OB² = 1521 - 225 OB² = 1296 OB = 36

Ответ: Расстояние от точки до плоскости прямоугольника 36 см.

Неправильная пирамида с четырехугольником в основании

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√". Задача. Отрезок SB - перпендикуляр, проведенный к плоскости квадрата. Найдите длину отрезка SD, если AB=12 см, SC=16 см. Решение. Как видно из чертежа, в результате построения у нас образовалась неправильная пирамида с квадратом в основании. Поскольку SB - перпендикуляр, то треугольник SBC - прямоугольный, откуда BC² + SB² = SC² 12² + 16² = SC²  SB = √112 = 4√7 Найдем диагональ квадрата, лежащего в основании пирамиды. DC² + BC² = BD²  12² + 12² = BD²  BD = √288 = 12√2 Из прямоугольного треугольника DBS найдем длину ребра SD BD² + SB² = SD² SD²  = 112 + 288 SD = 20 Ответ: 20 см

Сфера (шар). Решение задач. Сфера (Шар)

Примечание. В данном уроке собраны задачи по геометрии (стереометрии) про шар. Если Вы не нашли решение задачи подходящего типа, задайте вопрос на форуме. Скорее всего она будет добавлена в один из уроков. Задача. Объем шара равен 288п см³. Найти диаметр шара Решение. Для решения задачи применим формулу объема шара V = пd³ / 6 Таким образом 288п = пd³ / 6 пd³ = 1728п d³ = 1728 d = 12 Ответ. 12 см Задача. Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным? Решение. Мысленно проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник. Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности. Радиус вписанной в треугольник окружности равен: r = S / p, где S - площадь треугольника p - его полупериметр Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты, умноженной на основание. Но, поскольку, основание - удвоенный радиус конуса, то S = RH Полупериметр равен p = 1/2 ( 2R + 2m) m - длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника R - радиус окружности,  составляющей основание конуса m найдем по теореме Пифагора как m = √( H² + R² ), откуда p = 1/2 ( 2R + 2√( H² + R² ) ) = R + √( H² + R² ) Кратко это выглядит следующим образом: