Правильная пирамида с треугольником в основании (часть 4)

Примечание. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√". Задача. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. Решение. Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен MO/MK = 1/2 откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 градусов. Откуда KO / MK = cos 30 KO / 8 = cos 30 KO = 8 cos 30 По таблице тригонометрических функций найдем значение косинуса 30 градусов. KO = 8√3/2 = 4√3 Учтем, что KO является радиусом вписанной окружности в основание правильной треугольной пирамиды (согласно свойствам правильной пирамиды). Тогда по свойству равностороннего треугольника r = a√3/6 Подставим в формулу известное нам значение радиуса вписанной окружности, откуда найдем значение стороны равностороннего треугольника 4√3 = a√3/6 a = 24 Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника: Sт = 1/2 * 24 * 8 = 96 см² Откуда площадь боковой поверхности пирамиды S = 3 Sт = 3 * 96 = 288 см² . Ответ: 288 см².

Правильный тетраэдр (пирамида)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Теория

(теоретические сведения см. также в уроке "Правильный тетраэдр")

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками. У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице. Где: S - Площадь поверхности правильного тетраэдра V - объем h - высота, опущенная на основание r - радиус вписанной в тетраэдр окружности R - радиус описанной окружности a - длина ребра

Практические примеры

Задача. Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3 Решение. Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a²√3 . Тогда S = 3√3 Ответ: 3√3 Задача. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды Решение. Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то AO = R = √3 / 3 a AO = 4√3 / 3 Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM AO² + OM² = AM² OM² = AM² - AO² OM² =  4² - ( 4√3 / 3 )² OM² = 16 - 16/3 OM = √(32/3) OM = 4√2 / √3 Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a² V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 ) V = 16√2 / 3 Ответ: 16√2 / 3 см