Правильная пирамида с треугольником в основании (часть 2)

Примечание. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача

В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Расстояние от центра основания до боковой грани равно 2√3. Найти объём пирамиды. Решение. Основанием правильной треугольной пирамиды по определению является равносторонний треугольник. А расстояние от центра основания до боковой грани равно радиусу вписанной окружности. Согласно свойствам равностороннего треугольника площадь основания равна: S = 3√3  r² = 3√3 (2√3)² = 36√3 Поскольку грани наклонены к основанию под углом 60 градусов, то для прямоугольного треугольника MOK tg MKO = MO/KO tg 60 = MO / (2√3) Исходя из таблицы значений тригонометрических функций tg 60 = √3 √3 = MO / (2√3) MO = 6 Таким образом, высота пирамиды равна 6 см. Объем пирамиды найдем по формуле: S = 1/3 Sh S = 1/3 * 36√3 * 6 S = 72√3

Ответ: 72√3

Задача

Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна  So =   9 * √3/4   

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.  Таким образом: OK / MK = cos 45 Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.  OK / MK = √2/2 Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности.

Тогда (по таблице соотношений в правильном треугольнике) OK = √3/6 a  OK = √3/6 * 3 =   √3/2    Тогда OK / MK = √2/2 √3/2 / MK = √2/2 MK =   √3/√2 Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.   Sбок = 1/2 * 3√( 3/2 ) 

Откуда площадь полной поверхности будет равна  S =   9√3/4 + 3/2 √( 3/2 ) 

Правильная пирамида с треугольником в основании (часть 3)

Примечание. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√". Задача. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов.Надо найти площадь полной поверхности пирамиды Решение. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника: Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь. h = √3/2 a a = h / (√3/2) a = 3 / (√3/2) a = 6 / √3 Откуда площадь основания будет равна: S = √3/4 a² S = √3/4 ( 6 / √3 )² S = 3√3 Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам. Таким образом: OK / MK = cos 45 Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения. OK / MK = √2/2 Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда OK = √3/6 a OK = √3/6 * 6/√3 = 1 Тогда OK / MK = √2/2 1 / MK = √2/2 MK = 2/√2 Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника. Sбок = 1/2 (6 / √3 ) (2/√2) = 6/√6 Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна S = 3√3 + 3 * 6/√6 S = 3√3 + 18/√6 Ответ: 3√3 + 18/√6