Сумма углов треугольника

Задача. Один из углов треугольника на 30 градусов меньше другого и в 7 раз больше третьего.найти углы треугольника Решение. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Обозначим третий угол как х. Тогда другой относительно него будет равен (и в семь раз больше третьего) 7х, а первый (на тридцать градусов меньше другого, значит - другой на тридцать градусов больше), соответственно, 7х + 30 . Получим уравнение:  х + 7х + ( 7х + 30 ) = 180 15х + 30 = 180 15х = 150 х=10 Находим остальные углы. 7х = 70, а 7х+30 = 100

Ответ: 10, 70, 100

Задача. Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота CD. Найти величину угла BCD если угол А равен 65 градусам.

Решение. Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, построим следующие рассуждения: Величины углов ∠A + ∠B + ∠C = 180° Так как угол С - прямой, то  65 + ∠B + 90 = 180 B = 25°

Теперь, поскольку CD - высота, то треугольник BCD - прямоугольный, откуда ∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°  25 + 90 + ∠BCD =180°  ∠BCD =65°   

Ответ: 65 градусов

Площадь треугольника

Примечание. Это урок с задачами по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника. Если же треугольник обладает особыми свойствами, обратитесь также к специальным формулам - см. например "Формулы площади равнобедренного треугольника".

Площадь треугольника можно найти по следующим формулам:  

Пояснения к формулам: a, b, c - длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти r - радиус вписанной окружности R - радиус описанной окружности h - высота треугольника, опущенная на сторону p - полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон

Например, формула 1 говорит, что площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена 

Формула 2 говорит о том, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (см. пример решения ниже).

См. также площадь равнобедренного треугольника.

Задача

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Площадь трегольника равна S=1/2 ab sin C Соответственно S=1/2 *5*6*sin60 S=15√3 / 2

Примечание- sqrt используется вместо знака квадратного корня.

Ответ: 7,5 √3

Задача

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a²

S = √3 / 4 * 3²

S = 9 √3 / 4

Ответ: 9 √3 / 4. 

Задача

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение.

Используем формулу Герона.

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )

Если стороны увеличены в 4 раза, то

S₂ = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c) )

Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений. Тогда

S₂ = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) S₂ = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) S₂ = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )

Теперь, определим соотношения площадей

S₂ / S = 16

Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз