Нахождение величины наклона боковых граней правильной прамиды

Задача. Найти величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды если её боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов

Решение. Поскольку боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к основанию под углом 45 градусов, то в треугольнике ANC угол ANC равен 90 градусам. Таким образом, данный треугольник является прямоугольным.

Пусть длина ребра пирамиды равна а, тогда, исходя из того, что треугольник ANC - прямоугольный равнобедренный, AC² = NC² + AN² AC² = 2a²   AC = a√2 откуда OC = AC / 2   OC =  a√2/2   

найдем высоту пирамиды NO:  NO = √(NC² - OC² ) NO = √( a² - a²/2) NO = a/√2

Рассмотрим прямоугольный треугольник COD и аналогичным способом найдем его высоту CK CD² = OC² + OD²  CD² = ( a√2/2 )²  +  ( a√2/2 )² CD = a

Откуда KC = CD / 2 KC = a / 2

OK² = OC² - KC ² OK = a/2  

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KON. Так как он прямоугольный, то tg ∠NKO = NO / OK tg ∠NKO = (  a/√2  ) / ( a / 2 )   tg ∠NKO =   2/√2

откуда ∠NKO =  arctg( 2/√2 ) ≈ 54,7356°

Ответ:  arctg( 2/√2 ) ≈ 54,7356°

Нахождение расстояний в правильной четырехугольной пирамиде

Задача.     ABCD - квадрат с стороной 4 см.Точка М отдалена от каждой вершины квадрата на 7 см. Найти расстояние от середины отрезка МА до вершин и сторон квадрата.  

Решение. Сначала изобразим условие задачи графически.

Как видно из чертежа, точка М - представляет собой вершину правильной четырехугольной пирамиды. Точка К, явлющаяся серединой ребра АМ, Является точкой, к которой проведены медианы треугольников ADM, ABM и ACM. То есть медианы KC, KD и KB этих треугольников и являются расстояниями до вершин квадрата.

Таким образом, задача нахождения расстояний сводится к задаче нахождения длины этих медиан.

Для нахождения длины медиан применим теорему Стюарта.

m_c² = ( 2a² + 2b² - c² ) / 4

Для треугольника ABM медиана KB KB² = ( 2AM²   + 2AB² - AM²  )  / 4 KB² = ( 2 * 7 ² + 2 * 4 ² - 7 ² ) / 4 KB² = ( 98 + 32 - 49  ) / 4 = 81 / 4 KB = 4,5 

Поскольку пирамида правильная, то для KD будет тот же результат KD = 4,5

Длина диагонали квадрата АС = 4√2 (по соответствующей формуле d = a√2 )

Для треугольника ACM медиана CK будет равна: CK² = ( 2AC² + 2CM² - AM²  )  / 4 CK² = ( 2(4√2)² + 2 * 7² - 7²  )  / 4 CK² = ( 64 + 98 - 49  )  / 4 CK = √113/2

Для нахождения расстояний до сторон квадрата изобразим задачу следующим образом:

Сначала определим высоту пирамиды:   MO²  = MA² -  OA²

Поскольку пирамида правильная, длина OA равна половине длины диагонали квадрата. MO² = 7² - ( 2√2 )²  MO = √41

Откуда длина отрезка KL по теореме Фалеса равна  KL = √41/2 (так как KA равно половине MA в треугольнике AOM или, если хотите, как средняя линия треугольника)

Аналогично, LA = OA / 2 = √2

LA является диагональю квадрата, стороны которого равны расстоянию от точки L до сторон основания. Поскольку диагональ квадрата равна  d = a√2 то LA = a√2 √2 = a√2     a = 1

То есть LF = 1

Тогда расстояние от точки K до стороны AD по теореме Пифагора будет равно: KF² = KL² + LF² KF² = ( √41/2 )² + 1 KF = √45 / 2 = 3√5 / 2

Теперь найдем расстояние до двух других сторон квадрата KE² = KL² + LE²

заметим, что LE = FE - LF = AB - LF = 4 - 1 = 3

Откуда KE² = ( √41/2 )²  + 3² KE = √77 / 2

Ответ: расстояния до вершин квадрата равны 4,5 4,5   √113/2, а до сторон  квадрата √77/2 и   3√5/2