Правильная пирамида

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды. Решение. Поскольку пирамида правильная, учтем следующее:

• Высота пирамиды проецируется на центр основания

• Центр основания правильной пирамиды по условию задачи - равносторонний треугольник

• Центр равностороннего треугольника является одновременно центром вписанной и описанной окружности

• Высота пирамиды образует с плоскостью основания прямой угол

Объем пирамиды можно найти по формуле: V = 1/3 Sh Поскольку апофема правильной пирамиды образует вместе с высотой пирамиды прямоугольный треугольник, для нахождения высоты используем теорему синусов. Кроме того, примем во внимание:

• Первый катет рассматриваемого прямоугольного треугольника является высотой, второй катет - радиусом вписанной окружности (в правильном треугольнике центр одновременно является центром вписанной и описанной окружности), гипотенуза является апофемой пирамиды

• Третий угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам ( сумма углов треугольника - 180 градусов, угол 60 градусов дан по условию, второй угол - прямой по свойствам пирамиды, третий 180-90-60 = 30 )

• синус 30 градусов равен 1/2

• синус 60 градусов равен корню из трех пополам 

• синус 90 градусов равен 1

Согласно теореме синусов: 4 / sin( 90 ) = h / sin ( 60 ) = r / sin( 30 ) 4 = h / ( √3 / 2 ) = 2r откуда r = 2 h = 2√3 В основании пирамиды лежит правильный треугольник, площадь которого можно найти по формуле: S _{правильного треугольника} = 3√3 r². S = 3√3 2² . S = 12√3 . Теперь найдем объем пирамиды: V = 1/3 Sh V = 1/3 * 12√3  * 2√3  V = 24 см³ . Ответ: 24 см³ .

Задача

Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды. Решение. Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды. Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения: 7² + 24² = x² x² = 625 x = 25 Ответ: 25 см

Правильная пирамида с четырехугольником в основании Правильная пирамида с четырехугольником в основании

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√". Задача. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань образует с основанием угол 60 градусов. найдите объем пирамиды. Решение. Объем пирамиды найдем по формуле: V=1/3 Sh Зная диагональ основания пирамиды, найдем сторону основания. d² = a² + a² 4² = 2a² 16 = 2a² a= √8 = 2√2 Соответственно, площадь основания S = 8 см² . Проведем через вершину правильной четырехугольной пирамиды вертикальное сечение. Поскольку боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60 градусов, то сечение образует равносторонний треугольник. Основание равностороннего треугольника равно 2√2. Откуда высота будет равна h = √3/2 a h = √3/2 * 2√2 = √6 Откуда объем правильной пирамиды с четырехугольником в основании равен V=1/3 Sh V = 1/3 * 8 * √6 = 8√6 / 3 Ответ:  8√6 / 3 см³. Задача. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Двугранные углы при основании равны α. Найти площадь полной поверхности пирамиды. Решение. Поскольку пирамида правильная, то ее высота проецируется в центр основания. Значит KN = a/2 Соответственно, треугольник OKN - прямоугольный. Значит ON = KN / cos α = a / 2cos α Поскольку пирамида правильная, то треугольник DOC - равнобедренный. Значит его площадь равна Sт = DC * ON / 2 Sт = ( a * a / 2cos α) / 2 = a² / 4cos α Откуда площадь боковой поверхности правильной пирамиды будет равна площади всех ее боковых граней Sб = 4a² / 4cos α Sб = a² / cos α Откуда площадь полной поверхности равна Sп = a² / cos α + a² = a² ( 1 + 1 / cos α ) Ответ: площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна a² ( 1 + 1 / cos α )