Пирамида с прямоугольным треугольником в основании Задача

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. Решение. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна AN² = AO² + ON² AN² = 5² + 12² AN = √169 AN = 13 Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна CB² = CO² + OB² 64 = CO² + 25 CO² = 39 CO = √39 Соответственно, величина ребра CN будет равна CN² =  CO² + NO² CN² = 39 + 144 CN = √183 Ответ: 13, 13 , √183

Задача

Основание пирамиды прямоугольный треугольник, катеты которого равны 8 и 6 см. высота пирамиды равна 10 см. Вычислить объем пирамиды. Решение. Объем пирамиды найдем по формуле: V = 1/3 Sh Площадь основания найдем по формуле нахождения площади прямоугольного треугольника: S = ab/2 = 8 * 6 / 2 = 24 откуда V = 1/3 * 24 *10 = 80 см³ .

Пирамида с равнобедренным треугольником в основании

Задача. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании β. все боковые грани образуют с основанием угол φ.

Решение. Поскольку в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, то для нахождения площади равнобедренного треугольника, воспользуемся приведенными в соответствующем уроке формулами.

При желании можно разбить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника AKB и AKC. Но в результате формулы будут все равно тождественны. Действительно,

AK = AB sin ß = b sin β BK = AB cos β = b cos β S_ABK = AK * BK / 2 = b²sin β cos β / 2

откуда S_ABС =   2S_ABK =   b²sin β cos β  (примем за искомую площадь основания, далее справочно приведем к той же формуле, которая указана по ссылке выше)

Если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то b²sin β cos β = 1/2 b²sin 2β = 1/2 b²sin 2β   или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника) 1/2 b²sin 2β = 1/2 b²sin (180 - α)  =  1/2 b²sin α

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. При этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. Вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. Откуда высота боковой грани пирамиды равна: h = r / sin φ

Длину радиуса вписанной окружности найдем как r = S/p

Учитывая, что BC = 2BK, то BC = 2b cos β откуда p = ( b + b + 2b cos β ) / 2 p = ( 2b + 2b cos β ) / 2 p = 2b ( 1 + cos β ) / 2 p = b ( 1 + cos β )

Таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен r = S / p r = b²sin β cos β / b ( 1 + cos β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos β )

Теперь определим высоту боковых граней пирамиды. Зная, что l / r = cos φ, то l = r cos φ

Тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна: S1 = lb / 2 S1 = r cos φ * b / 2 S1 = b sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ * b / 2 S1 = b² sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ / 2 S1 = b² sin β cos β  cos φ / ( 2 ( 1 + cos β ) )

Площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна: S2 = BC * l / 2 S2 = 2b cos β *  r cos φ / 2 S2 = b cos β * r cos φ S2 = b cos β * b sin β cos β / ( 1 + cos β ) * cos φ S2 = b² cos² β sin β cos φ / ( 1 + cos β )

Площадь боковой поверхности пирамиды равна: Sбок = 2S1 + S2 Sбок = 2 * b² sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos β ) cos φ ) + b² cos² β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) Sбок = b² sin β cos β cos φ / ( 1 + cos β ) + b² cos² β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) Sбок = ( b² sin β cos β cos φ + b² cos² β sin β cos φ ) / ( 1 + cos β ) Sбок = b² sin β cos β cos φ ( 1  + cos β ) / ( 1 + cos β ) Sбок = b² sin β cos β cos φ

Откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит: S = Sбок + Sосн S = b² sin β cos β cos φ + b² cos² β sin β cos φ / ( 1 + cos β )

Правильная пирамида

Правильная пирамида - частный случай пирамиды.

Определение правильной пирамиды

Определение 1. Пирамида называется правильной, если её  основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания. 

Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

Свойства правильной пирамиды

• боковые ребра равны

• апофемы равны

• боковые грани равны

• все боковые грани являются равные равнобедренными треугольниками

• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу

• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания

• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему