Параллелепипед (часть 2)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема стереометрия - параллелепипед). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√" Задача. Основание прямоугольного параллелепипеда - ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны P и Q Решение. Площадь первого сечения выразим как P = hd₁ , где h - высота параллелепипеда d₁ - длина диагонали Площадь второго сечения выразим как Q= hd₂ , где h - высота параллелепипеда d₂ - длина диагонали Соответственно, d₁ = P / h d₂ = Q / h Площадь боковой поверхности равна S = 4ah, где a - длина стороны ромба h - высота параллелепипеда По теореме Пифагора a = sqrt( ( d₁ / 2 )² + ( d₂ / 2 )² ) a = sqrt( d₁² / 4  + d₂² / 4 ) a = sqrt( d₁² + d₂² ) / 2 Тогда S = 4ah S = 4h sqrt( d₁² + d₂² ) / 2 S = 2h sqrt( d₁² + d₂² ) поскольку d₁ = P / h d₂ = Q / h то S = 2h sqrt( ( P / h )² + ( Q / h )² ) S = 2h sqrt( P ² + Q² ) / h S = 2 sqrt( P ² + Q² ) Ответ: S = 2 √( P ² + Q² )

Пирамида. Решение задач Свойства правильной пирамиды

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Правильная пирамида имеет следующие свойства:

• боковые ребра правильной пирамиды равны;

• в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

• в любую правильную пирамиду можно как вписать сферу

• около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания;

• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

С треугольником в основании Тетраэдр (пирамида)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о тетраэдре (пирамиде)). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√". Задача. Основание тетраэдра DABC треугольник со сторонами 13 см,14 см, 15 см. Расстояние от точки D до сторон треугольника основания равны 5 см. Найти расстояние от точки D до плоскости АВС. Решение. Расстояние от вершины до плоскости основания равно высоте, которая опущена из вершины на основание. Величины апофемы пирамиды равны по условию задачи. Таким образом, прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, апофемой и отрезком, соединяющим высоту и точку касания апофемы и основания - равны. Откуда - высота, опущенная из вершины - является центром вписанной в основание окружности. Найдем радиус вписанной в основание окружности. Формула радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник: p = ( 13 + 14 + 15 ) / 2 = 21 r = 4 Таким образом, расстояние от точки D до плоскости основания равно длине высоты, опущенной из вершины на основание. По теореме Пифагора: 5² = h² + 4² h² = 25 - 16 h² = 9 h = 3 Ответ: 3 см. Задача. Найдите угол между двумя скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра. Решение. Поскольку медианы скрещиваются, они лежат в одной плоскости. Поскольку они проведены к боковым граням правильного тетраэдра, то эта плоскость лежит на боковой грани. Поскольку тетраэдр является правильным, то каждая из его граней представляет собой правильный треугольник. Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам. Поскольку в равностороннем треугольнике каждая медиана является одновременно и биссектриссой и высотой, то: MAB = 30 градусов ANK = 90 градусов Откуда AKN = 180 - 90 -30 = 60 градусов. Ответ: Медианы пересекаются под углом 60 градусов