Ромб в основании призмы

Задача. Основание прямой призмы - ромб с углом 120 градусов. БОльшая диагональ призмы равна 8см и составляет с боковым ребром угол 60 градусов. Найти сторону ромба и меньшую диагональ призмы. Решение. Поскольку диагональ AC1 образует с ребром AA1 угол 60 градусов, призма является прямой, то угол C1AC равен 90 - 60 = 30 градусов. Исходя из этого cos 30 = AC / AC1 = √3 / 2 AC / AC1 = √3 / 2 AC / 8 = √3 / 2 2AC = 8√3 AC = 4√3 Поскольку угол ADC равен 120 градусам, то угол BAD равен 60 градусам. (Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180(n-2) = 360 градусам, углы ромба попарно равны). Исходя из того, что угол BAD равен 60 градусам, треугольники ABD и BDC- равносторонние. (Так как ABCD - ромб, то они равнобедренные, следовательно углы при основании равны, значит они равны ( 180 - 60 ) / 2 = 60 градусов. Треугольник, у которого все углы равны - равносторонний). Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, AO = AC / 2 = 4√3 / 2 = 2√3 Поскольку треугольник ABD правильный, то AO является одновременно высотой и биссектрисой. Учтем, что высота правильного треугольника равна h = а √3 / 2, тогда а √3 / 2 = 2√3 а = 4 Зная, что BD = 4 см, DD1 = 4 см, по теореме Пифагора найдем меньшую диагональ: BD12 = 4 + 4 Таким образом, сторона ромба равна 4 см, а, так как треугольники ABD и BDC- равносторонние, то и меньшая диагональ ромба равна 4 см. Для того, чтобы найти длину ребра призмы, учтем, что диагональ AC1 = 8 см, а угол C1AC = 30 градусам. Тогда sin 30 = C1C / AC1 = 1/2 C1C / 8 = 1/2 C1C = 4 см Зная что BD = 4 см (меньшая диагональ ромба), D1D = 4 см (ребро призмы), длину меньшей диагонали призмы найдем по теореме Пифагора: BD1² = DD1² + BD² BD1² = 4² + 4² BD1² = 32 BD1 = 4√2 Ответ: Сторона ромба - 4 см, меньшая диагональ призмы с ромбом в основании равна 4√2 см.

Параллепипед

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - параллелепипед). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ . При решении задач, учитывайте определение параллелепипеда: Параллелепипед  — призма, основанием которой служит параллелограмм.

Задача

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Определите высоту параллелепипеда, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро равно 5 см. Решение. Поскольку одна из вершин основания параллелепипеда (обозначим ее F) одинаково удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда, то вместе с диагональю нижнего основания (обозначим ее AC) она образует равнобедренный треугольник AFC. AF = AC по условию. Одновременно, AF - это ребро параллелепипеда. Таким образом, в равнобедренном треугольнике AFC стороны равны следующим величинам: AF=FC=5 см , AC = 8 см. Высота равнобедренного треугольника AFC одновременно, будет являться высотой параллелепипеда. Пусть она опущена в точке K. Кроме того, высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам. Откуда, по теореме Пифагора высота будет равна: FK²  + (AC/2)²  = FC² FK²  + 16 = 25 FK² = 9 FK = 3 см

Ответ: высота параллелепипеда равна 3 см.

Задача

Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = 6 см, DB = 5 см, BC1 = 4 см.

Решение.

Для нахождения длин сторон ( поскольку параллелепипед в условии задачи прямоугольный, а значит, все ребра пересекаются под прямым углом  )  используем теорему Пифагора.

Найдем BB1 в прямоугольном треугольнике  DBB1 BB1 = √( B1D² - BD² ) BB1 = √(36 - 25) = 3

Соответственно СС1 = BB1 = 3 см

Для прямоугольного треугольника BC1C BC = √( BC1²  - C1C² ) BC = √( 16 - 9 ) = √7

В треугольнике BCD найдем CD CD = √( BD² - BC² ) CD = √( 25 - 7 ) = √18 = 3√2

Откуда площадь основания параллелепипеда равна: S = BC * CD = √7 * 3√2 = 3√14

Ответ:   площадь основания  прямоугольного параллелепипеда равна 3√14