Правильный четырехугольник в основании призмы

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия -  призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ . При решении задач на тему "правильная четырехугольная призма" подразумевается, что: Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат.

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см², а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. Решение. Правильный четырехугольник - это квадрат. Соответственно, сторона основания будет равна √144 = 12 см. Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна √( 12² + 12² ) = √288 = 12√2 Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: √( ( 12√2 )² + 14² ) = 22 см Ответ: 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см. Решение. Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора: a² + a² = 5² 2a² = 25 a = √12,5 Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна: h² + 12,5 = 4² h² + 12,5 = 16 h² = 3,5 h = √3,5 Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания S = 2a² + 4ah S = 25 + 4√12,5 * √3,5 S = 25 + 4√43,75 S = 25 + 4√(175/4) S = 25 + 4√(7*25/4) S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см² . Ответ: 25 + 10√7 ≈ 51,46 см² .

Параллелограмм в основании призмы

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .

Задача

Основанием прямой призмы ABCD A₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4√3 см и углом, равным 30 градусов. Диагональ AC₁ призмы образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение. Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, то углы B и D. будут равны 180 - 30 = 150 градусов. Диагональ параллелограмма AC, таким образом, образует треугольник ACD с углом C равным 150 градусов. Применим теорему косинусов, при этом обозначив диагональ параллелограмма как d, а  стороны параллелограмма как a и b. Учтем, что косинус 150 градусов равен cos( 150° ) = -√3 / 2. Получим: d² = a² + b² - 2abcos( 150° ) d² = 16 + 48 - 2 * 4 * 4√3 * ( -√3 / 2 ) = 112   d = 4√7 AC =  4√7   Зная величину диагонали параллелограмма, найдем высоту параллелограмма. Треугольник, который образует диагональ AC₁ ( AC₁С ) с основанием призмы, согласно условию задачи (призма - прямая) является прямоугольным. Угол ∠C₁AC по условию равен 60 градусов. Для прямоугольного треугольника тангенс угла ∠C₁AC равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg ( ∠C₁AC ) = C₁С / AC . Учтем, что тангенс 60 градусов равен tg 60° = √3. Соответственно, C₁С =  AC tg ( ∠C₁AC ) C₁С = 4√7 * tg60° C₁С = 4√21 Зная высоту призмы, определим площадь ее боковой поверхности: S = 2ha + 2hb S = 2 * 4 √21 * 4 √3 + 2 * 4 √21 * 4 = 96√7 + 16√21 ≈ 327,31   Ответ: 96√7 + 16√21 ≈ 327,31