Призма с правильным треугольником в основании (часть 2)

Примечание. Здесь находятся задачи о призмах с правильным треугольником в основании. Если Вы не нашли решение интересующей Вас задачи, пишите об этом на форуме. Задача. Найти площадь правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см. Решение. Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле:

По условию задачи a = 6 см  откуда S = √3 / 4 * 36 = 9√3

Поскольку у правильной треугольной призмы оснований два, то площадь оснований будет равна  9√3 * 2 =   18√3 

Площадь каждой из граней будет равна 6 * 10 = 60, а поскольку граней три, то 60 * 3 = 180

Таким образом, площадь полной поверхности призмы будет равна 180 + 18√3 ≈ 211, 18 см кв.

Ответ:  180 + 18√3 ≈ 211,18  

Призма с треугольником в основании

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 8 .Боковые ребра равны 8/п. Найдите объем цилиндра описанного около этой призмы.   Решение. Найдем диагональ основания призмы, исходя из информации о размере ребер ее основания. По теореме Пифагора, найдем квадрат гипотенузы треугольника, лежащего в основании. 7² + 8² = 113 Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности). У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы. Таким образом, цилиндр, описанный около заданной призмы, будет иметь диаметр, равный гипотенузе  прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы и высоту, равную высоте призмы. Таким образом, объем цилиндра составит: V= пr²h, где п - число пи r - радиус основания цилиндра h - высота цилиндра Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы одновременно является диаметром цилиндра, описанного вокруг призмы, то радиус цилиндра будет равен половине гипотенузы, то есть квадратный корень из 113 деленный пополам, а квадрат радиуса, соответственно равен  r²=113/4. По условию задачи высота ребра призмы равна 8/п . Таким образом: V=п*113/4*8/п V=226 Ответ: 226

Задача

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см.Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат. Решение. Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть S = 2S₁ + S₂ + 2S₃ , где S₁ - площадь основания призмы, S₂ - площадь боковой поверхности, содержащей основание, S₃ - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы) Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани). Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь. S₁ = 1/2ah = 1/2 * 12 * 8 = 48 см² . Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой 12 /2 = 6 см, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора sqrt( 6² + 8² ) = 10 см Таким образом S₂ = 12 * 12 = 144 см² . S₃ = 10 * 12 = 120 см² . S = 2S₁ + S₂ + 2S₃ = 2 * 48 + 144 + 2 *120 = 480 см² . Ответ: 480 см².