Отрезок, пересекающий плоскость

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел плоскости). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"

Задача

Отрезок АВ пересекает плоскость. Найти расстояние от середины отрезка до плоскости, если расстояния от точек А и В до плоскости 6 см и 10 см. Решение. Пусть отрезок пересекает плоскость в точке D, середину отрезка обозначим как M. Перпендикуляр отрезка, опущенный на плоскость (и определяющий расстояние от середины отрезка до плоскости) пусть касается плоскости в точке M1. Точки A и B проецируются на плоскость соответственно в точках A1 и B1. Достроим отрезок AB до треугольника ABK, где точка К лежит на плоскости, параллельной исходной. Найдем длину отрезка MM1, который и будет расстоянием от середины отрезка AB до плоскости. Учтем что MM1 = MC - M1C Для  треугольника ВАВ1 по теореме Фалеса, МС будет средней линией треугольника. То есть МС = ВВ1 / 2. Для треугольника АА1В1 отрезок М1С также является средней линией. Откуда М1С = АА1/2   Так как ММ1 = МС – М1С MM1 = ( BB1 − AA1 ) / 2 Если AA1 ≥ BB1, путем аналогичных рассуждений получим MM1 = ( AA1 − BB1 ) / 2 То есть для общего случая MM1 = | BB1 − AA1 | / 2 Подставим значения: MM1 = | 10 − 6 | / 2 = 2 Ответ: 2 см.

Параллелограмм, рассеченный плоскостью

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел плоскости). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√" Задача. Дан параллелограмм ABCD. Стороны параллелограмма АВ и CD пересекают плоскость альфа в точках М и К соответственно. Сторона параллелограмма AD параллельна плоскости альфа. AM:MB=3:5. Найдите CK и KD, если АВ=24см. Решение. Зная соотношение AM и MB, а также длину отрезка AB. Найдем длину каждого из отрезков. Пусть коэффициент пропорциональности х, тогда AB = 3x + 5x 24 = 3x + 5x 24 = 8x x=3 Откуда AM = 9 см, MB = 15 см. Поскольку AD || плоскости α , то AD || MK, таким образом AMKD также параллелограмм. Откуда KD = 9 см CK = 15 см Ответ: KD = 9 см CK = 15 см

Параллелограмм и плоскость

Задача. Расстояния от вершин A, B,C параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость α, до плоскости α равны соответственно 14 см, 11 см и 4 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости α. Решение. Обозначим как O точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Согласно свойствам параллелограмма, O - середина отрезка AC. Таким образом, Перпендикуляры к плоскости от точек A и C образуют трапецию, при чем перпендикуляр от О - будет ее средней линией. Из чего следует, что расстояние от точки O до плоскости M (средняя линия трапеции) полусумме расстояний от вершин A и C до плоскости (оснований трапеции). Средняя линия трапеции равна (14 + 4) / 2 = 9 С другой стороны, O - также является и серединой диагонали BD. Аналогично сказанному выше, также расстояние до плоскости является средней линией трапеции, образованной перпендикулярами от точек B и D на плоскость. Из чего следует, что средняя линия трапеции равна ( 11 +  х ) / 2, где х - искомое расстояние от точки D до плоскости. Поскольку средняя линия трапеции в обоих случаях - это расстояние от точки О до плоскости, то ( 11 +  х ) / 2 = 9 х = 7 Ответ: расстояние от точки D до плоскости равно 7 см.