Параллельные плоскости (часть 2)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел плоскости). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"

Задача

Через точку К, не лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета, проведены прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость альфа в точке А1 а плоскость бета в точке А2, и прямая b пересекает эти плоскости в точках B1 и B2 соответственно. Найти KB2 если A2B2 относится к A1B1 как 4:3, а KB1 = 14 см. Решение. Через прямые  a и b проведем плоскость, образованную этими пересекающимися прямыми.  В этой плоскости лежат треугольники A2KB2 и A1KB1. Эти треугольники подобны, так как угол К у них общий, а остальные углы также равны, так как образованы секущими KA2 и KB2 на параллельных прямых A1B1 и A2B2, так как плоскости альфа и бета - параллельны. Таким образом, коэффициент подобия верен для соотношения любых двух соответствующих сторон, то есть: KB2 : KB1 = 4:3 Откуда KB2 : 14  = 4:3 KB2 = 14 * 4 / 3 = 56/3 = 18 2/3 см Ответ: 18 2/3 см

Перпендикулярные плоскости

Задача. Точка A находится на расстоянии 1 см до одной из двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от точки A до второй плоскости, если расстояние от A до прямой их пересечения равно √5 см. Решение. Проведем перпендикуляр от точки А также и ко второй плоскости. Перпендикуляры к плоскостям от точки А, а также расстояния от них до прямой пересечения плоскостей образуют прямоугольник, диагональ которого является расстоянием от точки А до прямой пересечения плоскостей и равна по условию √5 см. Поскольку длина одного перпендикуляра, являющегося стороной прямоугольника,  нам известна, то длину второго перпендикуляра найдем как сторону прямоугольника: х² + 1 = 5 х² = 4 x = 2 Ответ: расстояние от точки А до второй плоскости равно 2 см.

Прямые на плоскости

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел прямые на плоскости). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача

Две прямые а и в пересекаются в точке О.Докажите,что все прямые,которые проходят не через точку О и пересекают каждую из данных прямых, лежат в одной плоскости. Доказательство. Пусть прямая, не пересекающая точку О пересекает каждую из данных прямых. Поскольку обе данные прямые лежат в одной плоскости, то все точки, принадлежащие данным прямым, равно как и точки пересечения с третьей прямой лежат в одной плоскости. Воспользуемся аксиомой стереометрии: "Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости." Откуда проведенная нами прямая также лежит в данной плоскости.

Точка и плоскость

Задача. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4 см, а до каждой из его сторон 6 см. Найдите диагональ квадрата. Решение. Расстояния от точки до углов квадрата образуют правильную пирамиду. Таким образом,  OKC является прямоугольным треугольником. Откуда KC² + OK² = OC² KC² = OC² - OK² KC² = 36 - 16 KC = √20 = 2√5 Откуда диагональ квадрата равна KC * 2 = 4√5 Ответ: 4√5 Задача. Из O -центра равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр OM к плоскости треугольника ABC. Найдите длину OM, если BC=6см, а MC=4см. Решение. Точка М вместе с правильным треугольником образует правильную пирамиду, поскольку ее вершина проецируется в центр основания. МОС - прямоугольный треугольник. Поскольку ABC - правильный треугольник, а О - является его центром, то OC будет равно длине радиуса описанной окружности. Длину радиуса описанной окружности найдем как R = a √3 / 3 OC = BC√3 / 3 OC = 6√3 / 3 = 2√3 Откуда OM² + OC² = MC² OM² = MC²  - OC² OM² = 16 - 12 OM = 2 Ответ: 2 см