Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех внешних углов равна 360°.

Таким образом,

3*(180-113)+(n-3)x=360

правая часть выражения - сумма внешних углов, в левой части сумма трех углов известна по условию, а градусная мера остальных (их количество, соответственно n-3, так как три угла известны) обозначена как x.

201+(n-3)x=360

(n-3)x=159

159 раскладывается только на два множителя 53 и 3, при чем 53 - простое число. То есть других пар множителей не существует.

Таким образом, n-3 = 3, n=6, то есть количество углов многоугольника - шесть.

Ответ: шесть углов

Задача

Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.

Решение

Как известно, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360⁰. Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника не менее четырех острых внутренних углов, следовательно среди его внешних углов не менее четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*90⁰ = 360⁰. Имеем противоречие. Утверждение доказано.

Правильный многоугольник

Задача. Найдите количество сторон правильного многоугольника,центральный угол которого равен: 1)120° 2)60° 3)72° Решение. Центральный угол - это угол, образованный двумя радиусами. Так как многоугольник является правильным, все его стороны равны и все треугольники, которые образованы центром многоугольника и его углами - равны. Таким образом, все центральные углы также равны. Общая мера суммы всех центральных углов равна 360 градусов. Таким образом, количество сторон правильного многоугольника, исходя из градусной меры центрального угла будет равна: 1) 360 / 120 = 3 (правильный треугольник) 2) 360 / 60 = 6 (правильный шестиугольник) 3) 360 / 72 = 5 (правильный пятиугольник) Ответ: 3; 6; 5 сторон.

Стереометрия

Куб

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о кубе). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√". Задача. Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его объем. Решение. Поскольку куб имеет шесть одинаковых сторон, найдем площадь одной из них. 24 / 6 = 4 см² Зная площадь стороны (основания) куба, найдем величину ребра a = √4 = 2 см Откуда его объем равен S = a³ = 2³ = 8 см³ . Ответ: 8 см³ .

Прямые и плоскости Параллельные плоскости

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел плоскости). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"

Задача

Луч KM пересекает параллельные плоскости α и β в точках M₁ и М₂, а луч КР- в точках Р₁ и Р₂ соответственно. Вычислите длину отрезка М₁М₂ , если КМ₁ = 8см. М₁ Р₁ : М₂ Р₂ = 4 : 9 Решение. Совершив геометрические построения, согласно условию задачи, увидим, что у нас образовались треугольники KM₁P₁ и KM₂P₂ . У них общий угол K, а, поскольку плоскости α и β параллельны, то прямые М₁ Р₁  и М₂ Р₂ , лежащие на этих плоскостях, также параллельны. Поскольку параллельные прямые, пересекающие третью, образуют с ней равные углы, то треугольники KM₁P₁ и KM₂P₂ - подобны по трем углам. То есть имеют равные углы. Поскольку треугольники KM₁P₁ и KM₂P₂  подобны, то М₁ Р₁ / М₂ Р₂ = КМ₁ / KМ₂ Обозначим KМ₂ как х. Таким образом : 4 / 9 = 8 / x 4x = 72 x = 18 Ответ: 18 см

Задача

Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскость A и B в точках А1и А2 соответственно, прямая m - в точках В1 и В2. Найти длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12см, В1О:ОВ2 = 3:4 Решение. Через прямые А1А2 и В1В2 можно повести плоскость, которая пересечёт параллельные плоскости по параллельным прямым А1В1 и А2В2. У образовавшихся треугольников ОА1В1 и ОА2В2 соответствующие углы равны. Углы при вершине О равны как вертикальные, а остальные - как внутренние накрест лежащие у параллельных прямых. Следовательно треугольники ОА1В1 и ОА2В2 подобны. У подобных треугольников соответствующие стороны соотностятся через коэффициент подобия. Откуда: ОВ1:ОВ2 = А1В1:А2В2, Следовательно:  А2В2 = 4 * 12 / 3 = 16 Ответ: 16 см.