Теорема синусов
Примечание. В данной главе приводится формулировка и доказательство теоремы синусов. В уроках главы приведены задачи по геометрии с решениями на эту же тему. См. также Теорема косинусов.
Теорема синусов
Теорема синусов устанавливает зависимость
между величиной углов треугольника и
противолежащих ему сторон.
Формулировка
теоремы синусов:
Стороны треугольника
пропорциональны синусам противолежащих
углов
или,
где
R - радиус описанной вокруг
треугольника окружности
a, b, c -
стороны треугольника
α, β, γ -
величины противолежащих этим сторонам
углов
Доказательство теоремы синусов
Построим
произвольный треугольник, вписанный в
окружность. Обозначим его как ABC.
Для
доказательства всей теоремы, поскольку
размеры треугольника выбраны произвольным
образом, достаточно доказать, что
соотношение одной произвольной стороны
к противолежащему ей углу равно 2R. Пусть
это будет 2R = a / sin α, то есть если взять
по чертежу 2R = BC / sin A.
Проведем
диаметр BD для описанной окружности.
Образовавшийся треугольник BCD является
прямоугольным, поскольку его гипотенуза
лежит на диаметре описанной окружности
(свойство углов, вписанных в окружность).
Поскольку, углы, вписанные в
окружность, опирающиеся на одну и ту же
дугу, равны, то угол CDB либо равен углу
CAB (если точки A и D лежат по одну сторону
от прямой BC), либо равен π - CAB (в противном
случае).
Обратимся к свойствам
тригонометрических функций. Поскольку
sin( π − α ) = sin α, то указанные варианты
построения треугольника все равно
приведут к одному результату.
Вычислим
значение 2R = a / sin α, по чертежу 2R = BC / sin
A. Для этого заменим sin A на соотношение
соответствующих сторон прямоугольного
треугольника.
2R = BC / sin A
2R = BC /
( BC / DB )
2R = DB
А, поскольку, DB
строился как диаметр окружности, то
равенство выполняется.
Повторив то
же рассуждение для двух других сторон
треугольника, получаем:
Теорема
синусов доказана.
Теорема синусов
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R где R - радиус описанной окружности Теорию - формулировку и доказательство теоремы подробно см. в главе "Теорема синусов".
Задача
В треугольнике XYZ угол Х=30 угол Z=15. Перпендикуляр YQ к ZY делит сторону ХZ на части XQ и QZ.Найти XY, если QZ=1.5м Решение. Высота образовала два прямоугольных треугольника XYQ и ZYQ. Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. QZ / sin( QYZ ) = QY / sin( QZY ) QZY = 15 градусов, Соответственно, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75 Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:
синус 15 градусов равен sin( 15 ) =
синус 75 градусов равен sin( 75 ) =
|
(или то же самое "при записи в одну строку") QZ / sin( 75 ) = QY / sin( 15 ) QZ / ( ( √3 + 1 ) / ( 2√2 ) ) = QY / ( ( √3 - 1 ) / ( 2√2 ) ) QZ * 2√2 / ( √3 + 1 ) = QY * 2√2 / ( √3 - 1 ) 3√2 ( √3 - 1 ) = QY * 2√2 ( √3 + 1 ) QY = 3√2 ( √3 - 1 ) / ( 2√2 ( √3 + 1 ) ) QY = 3/2 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 ) |
Поскольку длина высоты треугольника теперь известна, найдем XY по той же теореме синусов. QY / sin( 30 ) = XY / sin( 90 ) Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:
синус 30 градусов равен sin( 30 ) = 1 / 2
синус 90 градусов равен sin( 90 ) = 1
тогда QY = XY sin ( 30 ) 3/2 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 ) = 1/2 XY XY = 3 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 ) ≈ 0.8 м Ответ: 0,8 м или 3 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 )