Тригонометрия

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/". Для определения значения тригонометрической функции, найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем строку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой строки со столбцом "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов и т.д.

значение угла α (градусов)	0	15	30	45	60	75	90	120	135	150	180	270	360
значение угла α в радианах	0	π/12	π/6	π/4	π/3	5π/12	π/2	2π/3	3π/4	5π/6	π	3π/2	2π
sin (синус)	0		1/2	√2/2	√3/2		1	√3/2	√2/2	1/2	0	-1	0
cos (косинус)	1		√3/2	√2/2	1/2		0	-1/2	-√2/2	-√3/2	-1	0	1
tg (тангенс)	0	2 - √3	1/√3	1	√3	2 + √3	-	-√3	-1	-√3/3	0	-	0
ctg (котангенс)	-	2 + √3	√3	1	1/√3	2 - √3	0	-√3/3	-1	-√3	-	0	-
sec (секанс)	1		2/√3	√2	2		-		-√2		-1	-	1
cosec (косеканс)	-		2	√2	2/√3		1		√2		-	-1	-

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения.

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Задача. В треугольнике АВС угол С равен 90 градусам.  cos α = 4/5.  Надите sin α, sin β Решение. Поскольку cos α = 4/5, то AC / AB = 4 / 5. То есть стороны соотносятся как 4:5. Обозначим длину AC как 4x, тогда AB = 5x. По теореме Пифагора: BC² + AC² = AB² Тогда BC² + ( 4х )² = ( 5х )² BC² + 16х² = 25х² BC² = 9х² BC = 3x sin α = BC / AB = 3x / 5x = 3/5 sin β = AC / AB, а его значение и так известно по условию, то есть 4/5 Ответ: 3/5, 4/5

Тригонометрические тождества и преобразования

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Формулы приведения двойного угла

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Тригонометрические формулы сложения углов

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

  

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце - угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90)  = cos α .

Угол	α + 90 α + π/2	α + 180 α + π	α + 270 α + 3π/2	90 - α π/2- α	180 - α π- α	270 - α 3π/2- α	360 - α 2π- α
sin	cos α	-sin α	-cos α	cos α	sin α	-cos α	-sin α
cos	-sin α	-cos α	sin α	sin α	-cos α	-sin α	cos α
tg	-ctg α	tg α	-ctg α	ctg α	-tg α	ctg α	-tg α
ctg	-tg α	ctg α	-tg α	tg α	-ctg α	tg α	-ctg α