Площадь параллелограмма

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм).  Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √  или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

См. также:  Формулы, теоретический материал можно посмотреть по ссылке "Свойства и площадь параллелограмма".  

Теоретический материал

  Пояснения к формулам нахождения площади параллелограмма:  

1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону

2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними

3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними

Задачи на нахождение площади параллелограмма

Задача. В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корню из 82 соответственно.Большая диагональ 15 см .Найти площадь параллелограмма. Решение. Обозначим меньшую высоту параллелограмма ABCD, опущенную из точки B на большее основание AD  как BK. Найдем значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора: AB² = BK² + AK²  82 = 9²  + AK² AK² = 82 - 81 AK = 1 Продлим верхнее основание параллелограмма BC и опустим на него высоту AN из его нижнего основания.  AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. У получившегося прямоугольного треугольника ANC найдем катет NC. AN² + NC² = AC² 9² + NC² = 15² NC² = 225 - 81 NC² = √144 NC = 12 Теперь найдем большее основание BC параллелограмма ABCD. BC = NC - NB Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда BC = 12 - 1 = 11 Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию. S = ah S = BC * BK S = 11 * 9 = 99 Ответ: 99 см² .

Задача

В параллелограмме АВСД на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4. Решение. Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK. Соответственно, треугольники AOB иDKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов - прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали. Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть Sпаралл = 2S_AOB +2S_BOC Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда S = 2 ( 1/2 8 * 4 ) + 2 ( 1/2 6 * 4 ) = 56 см² Ответ: 56 см² .

Высота параллелограмма

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.  См. также: Свойства и площадь параллелограмма.

Задача.  

Висота паралелограма проведена з вершини тупого кута і дорівнює 5 см. Висота ділить сторону парелелограма навпіл. Гострий кут паралелограма доривнюе 30 градусів. Знайдіть діагональ паралелограма, проведену з вершини тупого кута, и кути, яки вона утворює зі сторонами паралелограма.

Высота параллелограмма проведена из вершины тупого угла и равняется 5 см. Высота делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол равняется 30 градусам. Найдите диагональ параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.

Решение.   Поскольку, по условию задачи,  AE=ED,  то треугольники ABE и DBE равны между собой (по первому признаку равенства треугольников: равны две стороны и угол между ними, AE=ED и  BE - общая сторона, а BE образует с AD  угол 90 градусов). Таким образом, угол ADB равен 30 градусам. Соответственно, угол DBC также равен 30 градусам как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD.

Из прямоугольного треугольника  ABE определим, что угол ABE равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов. Откуда (из равенства треугольников ABE и DBE) угол EBD также равен 60 градусов. Таким образом, диагональ образует со вторым основанием угол ABD = 60 + 60 = 120 градусов. BDC = ABD = 120 градусов как внутренние накрест лежащие.

Найдем длину диагонали. BE / BD = cos ∠EBD BE / BD = cos 60 Подставим значение косинуса 60 градусов и получим: BE / BD = 1/2 По условию задачи BE = 5 см, откуда 5 / BD = 1/2 BD = 10

Ответ: длина диагонали параллелограмма равна 10 см, углы, которые образует диагональ с основаниями равны 30 и 120 градусов.

Прямоугольник

Периметр прямоугольника

Решение задач по геометрии. Периметр прямоугольника

Задача

В прямоугольнике CKMN проведена биссектриса угла C,которая пересекает сторону KM в точке E, причём длина отрезка KE на 3 см меньше длины ME. Найдите MN, если периметр CKMN равен 51 см.

Решение.

Поскольку CE - биссектрисса угла С, то угол KCE равен 90 / 2 = 45 градусов. Тогда в прямоугольном треугольнике CKE угол KEC найдем исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Поскольку два угла из трех нам известны (К - прямой угол прямоугольника, угол KEC равен 45 градусам), то 180 - 90 - 45 = 45 градусов. Поскольку два угла треугольника CKE равны между собой, то этот прямоугольный треугольник также является и равнобедренным. Исходя из этого CK=KE=MN. Обозначим длину отрезка KE как x. Тогда EM будет равно х+3 . Таким образом, периметр прямоугольника будет равен 2 ( CK + KE + EM ) = 51 Учтем, что CK = KE 2 ( x + x + x + 3 ) = 51 2( 3x + 3) = 51 6x + 6 = 51 6x = 45 x = 7,5 см Так как KE = CK = MN, то MN = 7,5 см Ответ: 7,5 см