Векторы

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел векторы). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Задача. Найдите косинусы углов треугольника ABC, если его стороны заданы векторами A(-3;2), B(5;3), C(-4;-3). Определите вид треугольника. Решение. Косинус угла между двумя прямыми, на которых лежат векторы равен |a₁b₁+a₂b₂| / ( sqrt(a₁+a₂) + sqrt(b₁+b₂)) вычислим значения: cos AB = -(-3*5 + 2 * 3) / ( √13 √34) ≈ 0.428 cos BC = -(5*(-4) + 3 * (-3)) / ( 5 √34) ≈ 0.995 cos AC = -(-3*(-4) + 2 * (-3)) / ( 5 √13 ) ≈ -0.333 Соответственно углы равны приблизительно 64,7 , 5,7 и 109,6 треугольник тупоугольный

Пересекающиеся прямые

Примечание. Текст задачи взят из вопросов посетителей сайта.

Задача.

Один із кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 40 градусів. Знайдіть інші кути.

Один из углов, которые получились при пересечении двух прямых, равен 40 градусам. Найдите остальные углы.

Решение.  Пусть прямые AD и BC пересекаются в O, при этом величина угла AOC по условию задачи равна 40 градусам. 

Углы AOC и BOD - вертикальные, соответственно, по свойству вертикальных углов, они равны. Поэтому ∠AOC = ∠BOD = 40 градусов

Углы AOC и DOC - смежные. Согласно основному свойству смежных углов, их сумма равна 180 градусов. Соответственно, ∠AOC + ∠DOC = 180 градусов, откуда   ∠DOC = 180 - 40 = 120 градусов

Углы DOC и AOD - вертикальные, соответственно, ∠DOC = ∠AOD = 120 градусов

Ответ: углы, образованные пересечением двух прямых равны 40, 120, 40 и 120 градусов.

Окружности Окружность

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии об окружности. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен. Задача. Определить радиус окружности, если она длиннее своего диаметра на 107 сантиметров Решение. Обозначим длину окружности как C, а диаметр как D. Таким образом C - D = 107 Длина окружности равна С = 2πR = πD , поэтому πD - D = 107 D ( π - 1 ) = 107 D = 107 / ( π - 1 ) ≈ 49,96 см Откуда радиус окружности R = D / 2 = 107 /  2( π - 1 ) ≈ 24,98 см Ответ: 107 /  2( π - 1 ) ≈ 24,98 см Задача. Разность между радиусами окружностей, одна из которых описана около правильного треугольника, а вторая - вписана, равна m. Определить стороны этого треугольника. Решение. Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону равен r = √3/6 a Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону равен R = √3/3 a Поскольку R - r = m, то √3/3 a -  √3/6 a = m a ( √3/3 - √3/6 ) = m a √3/6 = m a = 6m / √3 Ответ:  6m / √3 См. также задачи про окружность, описанную вокруг треугольника.