Равнобокая трапеция (часть 2)

Примечание. Это часть курса обучения с задачами по геометрии (раздел равнобокая трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √  или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача.

В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание BC = 5 см, угол ABC = 135 градусов, высота трапеции равна 3 см. Найдите большее основание. Решение. Опустим из вершины B на основание AD высоту BE.  В результате угол ABC равен сумме градусных мер углов ABE и EBC. Поскольку основания трапеции параллельны, то угол EBC равен 90 градусов. Откуда угол ABE = 135 - 90 = 45 градусов. Поскольку BE - высота, то треугольник ABE - прямоугольный. Зная угол ABE, определим, что угол EAB равен 180º - 90º - 45º = 45º . Откуда следует, что треугольник ABE - равнобедренный, то есть AE = BE = 3 см. Поскольку трапеция ABCD - равнобокая, то большее основание равно 5 + 3 + 3 = 11 см. Ответ: большее основание равнобокой трапеции равно 11 см.

Задача

Найти среднюю линию равнобокой трапеции, диагональ которой является биссектрисой острого угла, боковая сторона 5, а одно из оснований в 2 раза больше другого. Решение. Поскольку основания трапеции параллельны, то угол ADB равен углу DBC, как внутренние накрест лежащие углы. Так как по условию диагональ является биссектрисой, то углы ADB и BDC равны. Откуда следует, что углы CBD и CDB равны. Из сказанного выше следует, что треугольник BCD - равнобедренный. Таким образом, поскольку боковая сторона равна 5 см, то основание BC также равно 5 см. Согласно условию, второе основание больше в два раза, то есть равно 10 см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Откуда средняя линия трапеции равна ( 5 + 10 ) / 2 = 7,5 см Ответ: Средняя линия трапеции равна 7,5 см.

Задача

Две окружности с радиусами a и b касаются внешним образом. К ним проведены общие внешние касательные. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания. Решение. Как видно из рисунка, четырехугольник, образованный касательными, является равнобокой (равнобедренной) трапецией. Площадь трапеции найдем по формуле (1): Длины верхнего и нижнего оснований равны двойным радиусам соответствующих окружностей, а высота - сумме радиусов. Откуда: S = ( 2a + 2b ) ( a + b ) / 2 S = ( a + b )² Ответ: S = (a + b)² .

Трапеция, описанная вокруг окружности

Примечание. Текст задачи взят с форума.

Задача. Вокруг окружности описана равнобедренная трапеция, угол при основании которой равен 30 градусов. Высота трапеции равна 4 см. Найдите сумму длин оснований трапеции.

Решение.

Для решения данной задачи определим длину равных боковых сторон трапеции. По условию, угол KAB равен 30 градусам. Так как BK - высота равнобедренной трапеции, то треугольник ABK - прямоугольный. Откуда

BK / AB = sin 30

Значение sin 30 градусов найдем из таблицы тригонометрических функций.

BK / AB = 1/2 так как BK - высота трапеции, то  4 / AB = 1/2 AB = 8 см

Поскольку трапеция равнобокая (равнобедренная), то AB = CD = 8 см

Теперь обратимся к основному свойству четырехугольника, описанного вокруг окружности. Из него следует, что суммы длин противоположных сторон равны. То есть

AB + CD = BC + AD откуда BC + AD = 8 + 8 = 16 см

Что и требовалось определить.

Ответ: 16 см.

Параллелограмм

Параллелограмм  - четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма равны Противоположные углы параллелограмма равны Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Сумма всех углов равна 360° Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

• Противоположные стороны попарно равны

• Противоположные углы попарно равны

• Диагонали делятся в точке их пересечения пополам

• Сумма соседних углов равна 180 градусов

• Две стороны равны и параллельны

Площадь параллелограмма

Формулы нахождения площади параллелограмма приведены ниже: То есть:

1. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону

2. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними

3. Площадь параллелограмма ABCD равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними