Равнобокая (равнобедренная) трапеция Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции

Задача. Найдите углы равнобокой трапеции, если один угол на 30 градусов больше второго.

Решение. Для решения задачи воспользуемся следующей теоремой: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Таким образом, сумма углов равнобокой (равнобедренной) трапеции равна: 180 ( 4 - 2) = 360 градусов.

Исходя из свойств равнобокой трапеции о том, что ее углы попарно равны, обозначим одну пару углов как х. Поскольку один угол на 30 градусов больше второго, то сумма углов равнобокой трапеции равна: х + (х + 30) + х + ( х + 30 ) = 360 4х + 60 = 360 х = 75

Ответ: углы равнобокой (равнобедренной) трапеции равны 75 и 105 градусов попарно.

Задача. Найдите углы равнобокой трапеции, если один угол на 30 градусов больше второго.

Решение. Для решения задачи воспользуемся следующей теоремой:

Равнобокая трапеция

Примечание. Это часть курса обучения с задачами по геометрии (раздел равнобокая трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √  или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см. Решение. Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Из вершины C на основание AD опустим высоту CN. Поскольку MBCN является прямоугольником, то AD = BC + AM + ND Треугольники, получившиеся в результате того, что мы опустили из меньшего основания равнобокой трапеции на большее две высоты - равны. Таким образом, AD = BC + AM * 2 AM = (AD - BC) / 2 AM = ( 20 - 8 ) / 2 = 6 см Таким образом, в треугольнике ABM, образованном высотой, опущенной из меньшего основания трапеции на большее нам известны катет и гипотенуза. Оставшийся катет, который одновременно является высотой трапеции, найдем по теореме Пифагора: BM² = AB² - AM² BM²  = 102 - 62 BM = 8 см Поскольку высота трапеции ABCD равна 8 см, а высота подобной трапеции - 12 см, то коэффициент подобия будет равен k = 12 / 8 = 1,5 Поскольку в подобных фигурах все геометрические размеры пропорциональны друг другу с коэффициентом подобия, найдем площадь подобной трапеции. Произведение полусуммы оснований подобной трапеции на высоту выразим через известные геометрические размеры исходной трапеции и коэффициент подобия: Sпод = (AD * k + BC * k ) / 2 * ( BM * k ) Sпод = ( 20 * 1,5 + 8 * 1,5 ) / 2 * (8 * 1,5) = ( 30 + 12 ) / 2 * 12 = 252 см²  Ответ:  252 см² 

Задача

В равнобокой трапеции большее основание 36см,боковая сторона 25см, диагональ 29см.найти площадь трапеции. Решение. Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Для получившихся прямоугольных треугольников ABM и BMD справедливо следующее: AB²  = BM²  + AM² AD² = BM² + MD² Поскольку высота равнобокой трапеции одновременно равна BM² = AB² - AM² BM² = AD² - MD² Таким образом, AB² - AM²  = AD² - MD² 25² -  AM²  = 29² - MD² Так как AD = AM + MD, то AM + MD = 36 MD = 36 - AM Откуда 25² -  AM²  = 29² - (36 -AM)² 625 - AM²  = 841 - (36 -AM)² 625 - AM²  = 841 - (1296 - 72AM + AM² ) 625 - AM²  = 72AM - 455 - AM² 625 = 72AM - 455 AM = 15 Откуда MD = 36 - 15 = 21 Поскольку AM = 15, то величина меньшего основания равнобокой трапеции будет равна 36 - 15 *2 = 6 см Высоту равнобокой трапеции найдем по теореме Пифагора: BM² = AB² - AM² BM² = 625 - 225 BM = 20 Площадь равнобокой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции. S = 1/2 (36 + 6 ) * 20 = 420 см² . Ответ: 420 см² .