Трапеция (задачи с диагоналями)

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа - задайте вопрос на форуме. Задача. Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см. Решение. Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам. Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых. Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть AO / OC = AD / BC 9 / 6 = 24 / BC BC = 24 * 6 / 9 = 16 Ответ: 16 см Задача. В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции. Решение. Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину  KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник. Значит AD = AM+BC+KD a + 8 + b = 24 a = 16 - b Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора h² + (24 - a)² = (5√17)² и h² + (24 - b)² = 13² Учтем, что a = 16 - b , тогда в первом уравнении h² + (24 - 16 + b)² = 425 h²  = 425 - (8 + b)² Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим: 425 - (8 + b)² + (24 - b)²  = 169 -(64 + 16b + b)² + (24 - b)² = -256 -64 - 16b - b² + 576 - 48b + b²  = -256 -64b = -768 b = 12 Таким образом, KD = 12 Откуда h²  = 425 - (8 + b)² = 425 - (8 + 12)² = 25 h = 5 Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований , где a b - основания трапеции, h - высота трапеции S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см² Ответ: площадь трапеции равна 80 см².

Прямоугольная трапеция

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел прямоугольная трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"

Задача

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции. Решение. Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как  a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет ∠A. Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна S = ab Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора CK² + KD² = CD² Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка AD = AK + KD.  Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b,  следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a - b. то есть 12² + (a - b)² = (a + b)² откуда 144 + a² - 2ab + b² = a² + 2ab + b² 144 = 4ab Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то 144 = 4S S = 144 / 4 = 36 Ответ: 36 см² .