Углы равнобедренного треугольника

Примечание. Тексты задач взяты с форума.

Задача 

Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, учитывая что угол против основания в 2 раза больше угла при основании. Решение. Обозначим величину угла при основании равнобедренного треугольника как х. Тогда, угол, лежащий против основания, будет равен 2х. Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то 2x + x + x = 180 4x = 180 x = 45 Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45 градусов, а угол, лежащий против основания  равен 2 * 45 = 90 градусам.

Ответ: 45, 45, 90 градусов

Задача

Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании на 66 градусов больше угла, противолежащему основанию

Решение. Пусть угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, будет равен х (икс). Тогда, каждый из углов, прилежащих к основанию (а в равнобедренном треугольнике оба угла, прилежащих к основанию равны) будет равен ( х + 66 )

Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180 градусам, получим:

х + 2 ( х + 66 ) = 180 х + 2х + 132 = 180 3х = 48 х = 16

Таким образом, мы нашли угол, противолежащий основанию. Откуда два других угла будут равны: 16 + 66 = 82 градуса

Ответ: углы равнобедренного треугольника равны 16, 82 и 82 градуса.

Высота равнобедренного треугольника

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел равнобедренный треугольник). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение. 

Задача

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB, и AC равны 13а. Тангенс угла B равен 3/4. Найдите высоту AK, проведенную к основанию BC этого равнобедренного треугольника.

Решение. Поскольку мы знаем тангенс угла B, то стороны прямоугольного треугольника AKB соотносятся как AK/KB = tg B = 3/4

Обозначим коэффициент пропорциональности этих сторон как х. Тогда по теореме Пифагора для данного треугольника будет справедливо выражение:

(3x)² + (4x)² = (13a)² 9x²  + 16x² = 169a² 25x²  = 169a² x²  = 169/25a² x = 13/5a

Откуда AK = 3x = 13/5a*3= 7,8a KB = 4x = 13/5a*4 = 10,4a

Ответ:    7,8a и 10,4a

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Задача. Окружность радиусом 4 вписана в равнобедренный треугольник MNK с основанием MK и касается стороны MN в точке С. найдите боковую сторону треугольника, если она в 5 раз больше отрезка CN. Решение. Пусть длина отрезка CN = x , тогда MN = 5х . То есть боковая сторона равнобедренного треугольника равна a = 5x Примем во внимание формулу радиуса окружности для равнобедренного треугольника и формулу нахождения полупериметра равнобедренного треугольника. Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны равно d = p - c Подставим известные значения x = a + b/2 - a x = b/2 Откуда основание равнобедренного треугольника b = 2x Подставим значения a и b в формулу радиуса вписанной окружности. Получим r = x√(2/3) 4 = x√(2/3) x = 4 / √(2/3) Откуда a = 5x = 20 / √(2/3) Ответ: 20 / √(2/3)